坐标系与参数方程大题练习1．（2015届高三康杰中学临汾一中忻州一中长治二中四校联考）已知曲线C的极坐标方程是l．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是{x=1+tcosαy=tsinα(t是参数C.（1）写出曲线C的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=√14，求直线l的倾斜角α的值．1.解:（1）由ρ=4cosθ得：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，………………2分即(x−2)2+y2=4，所以曲线C的参数方程：{x=2+2cosϕy=2sinϕ（ϕ为参数）…………………4分（2）将{x=1+tcosαy=tsinα代入圆的方程得（tcosα−1)2+(tsinα)2=4，化简得t2−2tcosα−3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则{t1+t2=2cosαt1t2=−3,…………………6分∴|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√4cos2α+12=√14,∴4cos2α=2,cosα=±√22,α=π4或3π4.……………………10分2．（忻州市一中2015届高三上学期期末）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤α<π），射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-(<φ<)与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.(I)求证：||2||||OAOCOB；(II)当12时，B,C两点在曲线C2上，求m与α的值.2．解：（1）依题意，2分则5分（2）当时，两点的极坐标分别为化为直角坐标为7分是经过点倾斜角为的直线，又经过的直线方程为9分所以10分3.（2013-2014学年第四次四校联考）已知直线l的参数方程是(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+)．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．3.解：(1) ρ=2cos(θ+)∴ρ=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ…………(2分)∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0…………(3分)∴圆心C的直角坐标为(,-)…………(5分)(2)法一：由直线l上的点向圆C引切线长为==≥2,∴直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2…………（10分）法二：直线l的普通方程为x-y+4=0,…………(6分)圆心C到l直线距离是52|242222|，…………(8分)∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是621522…………（10分）4．已知曲线：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线1C的参数方程化为普通方程，将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设为曲线上的点，点的极坐标为，求中点到曲线上的点的距离的最小值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由，消去参数得曲线1C普通方程为；由，得，故曲线2C的直角坐标方程为．5分（Ⅱ）点的直角坐标为，设，故，为直线，到的距离，从而当时，取得最小值．10分【命题意图】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式等基础知识，意在考查基本运算能力．5．已知曲线：，直线：（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为22√55；最小值为2√55．【解析】（Ⅰ）由曲线：，得曲线的普通方程为：，从而得曲线的参数方程为{x=2cosθy=3sinθ,(θ为参数）；直线：（为参数）消去参数得到：直线的普通方程为．5分（Ⅱ）设曲线C上任一点P的坐标为(2cosθ,3sinθ)，则点P到直线的距离为d=|4cosθ+3sinθ−6|√22+12=√55|4cosθ+3sinθ−6|.则|PA|=dsin30o=2√55|5sin(θ+α)−6|，其中α为锐角，且tanα=43．所以得到：当sin(θ+α)=−1时，|PA|取得最大值，最大值为22√55；当sin(θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2√55．10分【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与普通方程互化的基础知识，意在考查转化与化归能力和基本运算能力．6．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．【答案】（Ⅰ）时，f(x)
