考点一双曲线的定义及其标准方程1．(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.答案A2．(2015·天津，5)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析双曲线－＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.答案D3．(2014·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由题意可得＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，则所求双曲线的方程为－＝1.答案A4．(2014·江西，9)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析设双曲线的右焦点为F，则F(c，0)(其中c＝)，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为－＝1.答案A5．(2013·湖北，2)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析在双曲线C1中，实轴长2a＝2sinθ；虚轴长2b＝2cosθ；焦距2c＝2＝2＝2；离心率e＝＝.在双曲线C2中，实轴长2a＝2cosθ；虚轴长2b＝2sinθ；焦距2c＝2＝2＝2；离心率e＝＝.即两条双曲线的焦距相等．故选D.答案D6．(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________．解析由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.答案－y2＝17．(2015·北京，12)已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.解析由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝.答案8．(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.答案129．(2012·天津，11)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________．解析双曲线C1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C2的渐近线方程为y＝±2x，即＝2，又因为a2＋b2＝5，所以a＝1，b＝2.答案1210．(2011·全国，16)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________．解析由角平分线的性质得＝，由题意得F1(－6，0)，F2(6，0)，所以|F1M|＝8，|F2M|＝4，则＝2，所以点A在右支，所以|AF1|－|AF2|＝|AF2|＝2×3＝6.答案6考点二双曲线的几何性质1．(2015·湖南，6)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.答案D2．(2015·四川，7)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.B．2C．6D．4解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2，∴A(2，2)，B(2，－2)，∴|AB|...
