【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章数列2.3.2.1等比数列的概念及通项公式学业分层测评苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，则an＝________.【解析】因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.【答案】22．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________．【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】－243．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.【解析】∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.【答案】－394．在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.【解析】由a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.【答案】25．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________.【解析】∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又∵a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.【答案】646．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a}；②{a2n}；③；④{lg|an|}．【解析】考查等比数列的定义，验证第n＋1项与第n项的比是否为常数．【答案】①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，∴这4个数依次为80,40,20,10.【答案】80,40,20,108．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝________.【导学号：91730037】【解析】记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1，当a1＝－1时，a5＝－16
a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1.1【答案】(－2)n－1二、解答题9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项，公比．【解】设该数列的公比为q.由已知，得所以解得故首项a1＝1，公比q＝3.10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求an.【解】(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面证明{an－n}是等比数列：由a2＝－4，a3＝－15可知，an≠n.∵＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1.能力提升]1．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于________．【解析】由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴＝＝.【答案】2．已知{an}是等比数列，an>0，又知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝________.【解析】∵a2a4＝a，a4a6＝a，∴a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵an>0，∴a3＋a5＝5.【答案】53．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．【解析】由an＝2Sn－3，得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1，得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.【答案】an＝3·(－1)n－14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；2(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.3
