课时作业21简单的三角恒等变换一、选择题1．(2018·广州毕业班测试)已知cos＝，则sinθ＝()A.B.C．－D．－解析：本题考查倍角公式、诱导公式．由题意得sinθ＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选C.答案：C2．(2018·四川成都诊断)已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为()A.B．－C.D．－解析：通解因为cos＝－sin2α＝，又<α<π，所以<α＋<，则由cos＝2cos2－1，解得cos＝－，所以cosα－sinα＝cos＝×＝－，故选B.优解因为α为第二象限角，所以cosα－sinα<0，cosα－sinα＝－＝－＝－.答案：B3．(2018·广东适应性考试)三角函数f(x)＝sin＋cos2x的振幅和最小正周期分别是()A.，B.，πC.，D.，π解析：f(x)＝sincos2x－cossin2x＋cos2x＝·cos2x－sin2x＝＝cos，所以振幅为，最小正周期T＝＝π，故选B.答案：B4．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝()A.B.C.D.解析：由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，解得sinα＝－2(舍去)或sinα＝，又由α为锐角，可得cosα＝，∴sin＝sinα＋cosα＝.答案：A5．(2018·济南二模)已知sin－cosα＝，则cos＝()A．－B.C．－D.解析：由sin－cosα＝，得sinα＋cosα－cosα＝sin＝，得cos＝1－2sin2＝1－＝.答案：D二、填空题6．(2018·福建宁德一模)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________.解析：∵sinα＋cosα＝，两边平方得1＋sin2α＝，∴sin2α＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα＝，∴cos2α＝－(sinα－cosα)(sinα＋cosα)＝－×＝－.答案：－7．(2018·长沙市统一模拟考试)化简：＝________.解析：＝＝＝4sinα.答案：4sinα8．(2018·河北衡水中学二调)若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．解析：∵tanα＋＝，∴(tanα－3)(3tanα－1)＝0，∴tanα＝3或.∵α∈，∴tanα>1，∴tanα＝3，sin＋2coscos2α＝sin2α＋cos2α＋＝(sin2α＋2cos2α＋1)＝＝＝0.答案：0三、解答题9．(2018·江西南昌模拟)已知tan2α＝－2，且满足<α<，求的值．解析：tan2α＝＝－2，整理可得tan2α－tanα－＝0，解得tanα＝－或tanα＝.因为<α<，所以tanα＝.则＝＝＝＝＝＝2－3.10．(2018·江西七校第二次联考，18)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)在区间x∈(0，π)上的单调递增区间；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝4cosωxsin＝4cosωx＝2sinωxcosωx－2cos2ωx＋1－1＝sin2ωx－cos2ωx－1＝2sin－1，且f(x)的最小正周期是＝π，所以ω＝1，从而f(x)＝2sin－1.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在x∈(0，π)上的单调递增区间为和.(2)当x∈时，2x∈，所以2x－∈，2sin∈，所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1、－1.[能力挑战]11．(2018·合肥检测)已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．解析：(1)f(x)＝a·b＋＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋π(k∈Z)，即y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋π(k∈Z)．(2)由条件知sin＝sin＝>0，不妨设x1
