2015年江苏高考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数满足(是虚数单位)，则的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量，.若，则的值为______.7.不等式的解集为________________.8.已知，，则的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________.11.数列满足，且，则数列的前10项和为.12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于恒成立，则是实数的最大值为.13.已知函数，，则方程实根的个数为.14.设向量，则的值为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.(本小题满分14分)在中，已知，，.(1)求的长；(2)求的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点为，.求证：(1)平面(2).1S←1I←1WhileI8S←S＋2I←I＋3EndWhilePrints（第4题图）BAOxylPC17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为，，山区边界曲线为，计划修建的公路为.如图所示，，为的两个端点，测得点到，的距离分别为5千米和40千米，点到，的距离分别为20千米和2.5千米.以，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系.假设曲线符合函数(其中，为常数)模型.(1)求，的值；(2)设公路与曲线相切于点，的横坐标为.①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，求直线的方程.19.(本小题满分16分)已知函数.(1)试讨论的单调性；(2)若(实数是与无关常数)，当函数有三个不同零点时，的取值范围恰好是，求的值.2MNl2l1xyOCPlPABCDQ第22题ABCEDO第21——A图20.(本小题满分16分)设，，，是各项为正数且公差为的等差数列.(1)证明：，，，依次成等比数列；(2)是否存在，，使得，，，依次成等比数列，并说明理由；(3)是否存在，及正整数，，使得，，，依次成等比数列，并说明理由.附加题21.【选做题】(本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在中，，的外接圆圆的弦交于点.求证：.B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆的极坐标方程为，求圆的半径.D．[选修4-5：不等式选讲]解不等式【必做题】(第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；(2)点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长323.(本小题满分10分)已知集合，，设整除或整除，，令表示集合所含元素个数.(1)写出的值；(2)当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.456789101112
