初中数学抽象函数的几个重要结论及其应用我们将没有给出函数具体解析式，但给出函数某些特性或相应条件的这类函数称为抽象函数。结论1：（一点对称）若函数y=f(x)，对任意，满足或，则函数y=f(x)的图象关于（a，0）中心对称。推论：若函数y=f(x)对任意满足条件，则函数y=f(x)的图象关于（，0）中心对称。结论2：（两点对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称（其中a≠b），则y=f(x)是周期函数，周期。证明：∵函数y=f(x)既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称。∴。∴y=f(x)为周期函数，周期。推论：函数y=f(x)是奇函数，其图象关于点（a，0）对称（a≠0），则函数y=f(x)是T=2|a|的周期函数。结论3：（轴对称）若函数y=f(x)对任意满足或，则函数y=f(x)关于x=a对称。推论：函数y=f(x)对任意x满足条件，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。结论4：（轴轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称（a≠b），则函数y=f(x)是T=2|b－a|的周期函数。证明：∵y=f(x)关于x=a和x=b对称∴∴T=2|b－a|是y=f(x)的周期结论5：（点轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a，0）对称，又关于直线x=b对称（其中a≠b），则函数y=f(x)是周期T=4|b－a|的周期函数。证明：∵函数y=f(x)关于点（a，0）对称，又关于x=b对称∴∴为y=f(x)的周期。特例1：若奇函数y=f(x)图象关于直线x=b（b≠0）对称，则函数y=f(x)是周期为T=4|b|的周期函数。特例2：若偶函数y=f(x)图象关于点（a，0）对称（a≠0），则函数y=f(x)是周期为T=4|a|的周期函数。例1设f(x)在上为奇函数，且，当时，，则f(7.5)等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解：∵f(x)是奇函数，且∴∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称根据结论5的特例1知，函数y=f(x)是以为周期的函数。∴，选B。例2已知函数为偶函数，为奇函数，，求f(2007)的值。解：∵为偶函数，其图象可由向右平移2个单位而得到∴关于x=－2对称为奇函数，其图象关于（0，0）对称，可由y=f(x)向左平移2个单位而得到∴y=f(x)关于（2，0）对称∴的周期函数∴练一练定义在R的函数f(x)满足，且函数为奇函数，给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是；②函数y=f(x)的图象关于对称；③函数y=f(x)的图象关于y轴对称。其中真命题是_____________。答案：②③
