平面向量的正交分解及坐标表示一、选择题(每小题3分，共18分)1.给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.2.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=()A.(-2，1)B.(2，-1)C.(2，0)D.(4，3)【解析】选B.b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).3.已知AB→=(5，-3)，C(-1，3)，CD→=2AB→，则点D坐标是()A.(11，9)B.(4，0)C.(9，3)D.(9，-3)1【解析】选D.设点D的坐标为(x，y)，则CD→=(x，y)-(-1，3)=(x+1，y-3).又因为CD→=2AB→=2(5，-3)=(10，-6)，所以{x+1=10,y−3=−6,解得{x=9,y=−3,所以点D坐标为(9，-3).【误区警示】求向量坐标时要注意的易错点(1)已知向量的起点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去起点坐标.(2)要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标.4.若a=(2，1)，b=(1，0)，则3a+2b的坐标是()A.(5，3)B.(4，3)C.(8，3)D.(0，-1)【解析】选C.3a+2b=3(2，1)+2(1，0)=(8，3).5.已知A(2，-3)，AB→=(3，-2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为()A.B(5，-5)，M(0，0)B.B(5，-5)，M(72,−4)C.B(1,1)，M(0，0)D.B(1,1)，M(72,−4)2【解析】选B.因为A(2，-3)，AB→=(3，-2)，所以B(5，-5)，M(2+52,−3−52)，即M(72,−4).【变式训练】(2013·牡丹江高一检测)已知A(2，3)，B(4，-3)，点P在直线AB上，且|AP→|=32|PB→|，则点P的坐标为()A.(165,−35)B.(8，-15)C.(165,−35)或(8，-15)D.(165,−35)或(6，-9)【解题指南】一方面注意分析AP→与PB→的关系，另一方面注意利用方程思想求点P的坐标.【解析】选C.设点P的坐标为(x，y)，AP→=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，PB→=(4，-3)-(x，y)=(4-x，-3-y).因为|AP→|=32|PB→|，所以AP→=32PB→或AP→=-32PB→，所以(x-2，y-3)=32(4-x，-3-y)，或(x-2，y-3)=-32(4-x，-3-y)，3所以{x−2=32(4−x),y−3=32(−3−y)或{x−2=−32(4−x),y−3=−32(−3−y).解得{x=165,y=−35或{x=8,y=−15.所以点P的坐标为(165,−35)或(8，-15).6.对于向量m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，定义m⊗n=(x1x2，y1y2).已知a=(2，-4)，且a+b=a⊗b，那么向量b等于()A.(2,45)B.(−2,−45)C.(2,−45)D.(−2,45)【解析】选A.设b=(x，y)，由新定义及a+b=a⊗b，可得(2+x，y-4)=(2x，-4y)，所以2+x=2x，y-4=-4y，解得x=2，y=45，所以向量b=(2,45).二、填空题(每小题4分，共12分)47.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则λμ=.【解题指南】建立直角坐标系，写出三个向量的坐标，利用解方程组的方法解出λ，μ.【解析】以向量a，b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(-1，1)，b=(6，2)，c=(-1，-3)，根据c=λa+μb得(-1，-3)=λ(-1，1)+μ(6，2)，即{−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,解得λ=-2，μ=-12，所以λμ=4.答案：48.已知a的方向与x轴的正向所成的角为120°，且|a|=6，则a的坐标为.【解析】作向量OA→=a，则|OA→|=6，所以点A的坐标为(6cos120°，6sin120°)，即(-3，3√3)，所以a的坐标为(-3，3√3).5答案：(-3，3√3)9.已知A(2，3)，B(1，4)，且12AB→=(sinx，cosy)，x，y∈(−π2,π2)，则x+y=.【解题指南】利用A(2，3)，B(1，4)表示出AB→，结合12AB→=(sinx，cosy)，利用坐标唯一求得x，y的值.【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以AB→=(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故12AB→=(−12,12)，所以sinx=-12，cosy=12，又x，y∈(−π2,π2)，所以x=-π6，y=±π3，从而x+y=π6或x+y=-π2.答案：π6或-π2三、解答题(每小题10分，共20分)10.以原点O及点A(2√3，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量AB→的坐标.【解析】因为△OAB是等边三角形，所以|OA→|=|OB→|=|AB→|=4.又以Ox为始边，OA为终边的角为11π6或-π6(如图)，所以当B在OA上方时，以OB为终边的角为π6，6由任意角三角形函数的定义，得OB→=(4cosπ6,4sinπ6)=(2...
