(本栏目对应学生用书P73)(时间：20分钟总分：30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知ξ～B，η～B且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5B．10C．15D．20【答案】B【解析】E(ξ)＝n·＝15，解得n＝30，∴E(η)＝n·＝10.2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)等于()A．2B．1C．3D．4【答案】C【解析】每次抽一只抽3次所含次品数ξ＝0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，Eξ＝0×＋1×＋2×＝，E(5ξ＋1)＝5Eξ＋1＝3.二、填空题(每小题5分，共10分)3．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.【答案】【解析】设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，∴(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.又ξ的数学期望Eξ＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.解得a＝，b＝0，∴a＋b＝.4．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为________．【答案】10【解析】∵15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，∴查得次品数的数学期望为150×＝10.三、解答题(本小题10分)5．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分．②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时答题结束，淘汰出局．③每位参加者按问题A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：设A，B，C，D分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，，，，分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.∴P()＝，P()＝，P()＝，P()＝.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q＝ABC＋ACD＋ABD＋BCD＋BD.∵每题结果相互独立，∴P(Q)＝P(ABC＋ACD＋ABD＋BCD＋BD)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P()P(D)＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.(2)由题意，知随机变量ξ的可能取值为2,3,4，则P(ξ＝2)＝P()＝×＝，P(ξ＝3)＝P(ABC＋A)＝××＋××＝，P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝.因此ξ的分布列为ξ234P(ξ)所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.
