(本栏目对应学生用书P73)(时间:20分钟总分:30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知ξ~B,η~B且E(ξ)=15,则E(η)等于()A.5B.10C.15D.20【答案】B【解析】E(ξ)=n·=15,解得n=30,∴E(η)=n·=10.2.从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)等于()A.2B.1C.3D.4【答案】C【解析】每次抽一只抽3次所含次品数ξ=0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)=,P(ξ=2)==,Eξ=0×+1×+2×=,E(5ξ+1)=5Eξ+1=3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4,P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又ξ的数学期望E(ξ)=3,则a+b=________.【答案】【解析】设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4,P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4),∴(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又ξ的数学期望Eξ=3,则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3.解得a=,b=0,∴a+b=.4.设15000件产品中有1000件次品,从中抽取150件进行检查,则查得次品数的数学期望为________.【答案】10【解析】∵15000件产品中有1000件次品,从中抽取150件进行检查,∴查得次品数的数学期望为150×=10.三、解答题(本小题10分)5.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分.②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时答题结束,淘汰出局.③每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答,直至答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为,,,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率;(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).解:设A,B,C,D分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题,,,,分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误,它们是对立事件,由题意,得P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.∴P()=,P()=,P()=,P()=.(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,则Q=ABC+ACD+ABD+BCD+BD.∵每题结果相互独立,∴P(Q)=P(ABC+ACD+ABD+BCD+BD)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P()P(D)=××+×××+×××+×××+×××=.(2)由题意,知随机变量ξ的可能取值为2,3,4,则P(ξ=2)=P()=×=,P(ξ=3)=P(ABC+A)=××+××=,P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1--=.因此ξ的分布列为ξ234P(ξ)所以E(ξ)=2×+3×+4×=.