高等数学电子教案：第12章-无穷级数VIP免费

章节第十二章无穷级数§1常数项级数的概念和性质课时2教学目的掌握常数项级数的概念及级数收敛的定义及性质。教学重点及突出方法级数收敛的概念及性质。教学难点及突破方法级数收敛的性质，几何级数的收敛性，调和级数的敛散性。相关参考资料《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P1-P9《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P266-P271教学思路、主要环节、主要内容教学过程12.1常数项级数的概念和性质1．常数项级数的定义设已给数列则式子或其简写为叫做无穷级数,记前n项和为，当n无限增大时，若数列具有有限的极限S，即则称无穷级数收敛，其极限值S称为级数的和，并记为；若没有极限，就称无穷级数发散。2．无穷级数的基本性质(1)若级数收敛于S，则每一项乘以一个不为零的常数k，则级数收敛于kS。(2)设有两个收敛级数：，则级数收敛于和。(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化。(4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S。(5)常数项级数收敛的必要条件：若级数收敛，则当n趋于无穷大时，它的一般项必趋近于零。因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛。叫等比级数，又称几何级数，其中,q叫做级数的公比，当时，几何级数收敛；当时级数发散。称为调和级数，此级数是发散的。3．柯西收敛原理定理：级数收敛的充分必要条件为：对任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然数p，都有成立。章节第十二章无穷级数§2常数项级数的审敛法课时2教学目的掌握正项级数、交错级数的审敛法及绝对收敛及条件收敛的概念。教学重点及突出方法正项级数、交错级数的审敛法及绝对收敛及条件收敛。教学难点及突破方法正项级数、交错级数的审敛法及绝对收敛及条件收敛。相关参考资料《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P11-P44《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P271-P285教学思路、主要环节、主要内容教学过程12.2常数项级数的审敛法定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和数列{Sn}上有界。正项级数的审敛准则准则一（比较判别法）：设有两个正项级数及，而且un≤vn(n=1,2,…).如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散。推论1:设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n>N时有un≤kvn(k>0)成立,则级数收敛；如果级数发散,且当n>N时有un≥kvn(k>0)成立,则级数发散。推论2:设是正项级数,如果有p>1时un≤1/np(n=1,2…),则级数收敛;如果un≥1/n(n=1,2,…),则级数发散。准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。准则三（比值审敛法）：设有正项级数.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛。定理(莱布尼兹定理):如果交错级数满足条件:(1):un≥un+1(n=1,2,3,…)(2):,则级数收敛，且其和s≤u1,其余项rn的绝对值|rn|≤un+1.定义：绝对收敛：对于级数,如果级数收敛的话，则称为绝对收敛。条件收敛：如果发散，但却是收敛的，则称为条件收敛。关系：绝对收敛级数必为收敛级数，但反之不然。P级数：当p>1时收敛；当p≤1时发散。章节第十二章无穷级数§3幂级数课时2教学目的掌握函数项级数与数项级数的关系，收敛点与收敛域，幂级数的收敛半径与收敛域，微分与积分运算性质，幂级数的和函数。教学重点及突出方法幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数。教学难点及突破幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的和函数。方法相关参考资料《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P44-P88《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P286-P300教学思路、主要环节、主要内容教学过程12.3幂级数函数项级数的概念：设有函数序列，f1(x),f2(x),…,fn(x),…，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，那末表达式f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…称为定义在I上的函数项级数。具有如下形式的函数...