2013年高三数学一轮复习专题六知能演练轻松闯关新人教版1．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.∴抽取了研究生学历的2人，本科学历的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.从中任取2人的所有基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为.(2)依题意，得＝，解得N＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴＝＝.解得x＝40，y＝5.2．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；(3)现在要从第6小组的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知该组a、b的成绩均很优秀，求两人至少有1人入选的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为＝50(人)．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．(3)a、b均不入选的概率为，a、b至少有1人入选的概率为1－＝.3．设函数f(x)＝的定义域为D.(1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率；(2)a∈[0,4]，b∈[0,3]，求使D＝R的概率．解：(1)因为a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，所以(a，b)的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种．要使D＝R，需4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，那么满足D＝R的(a，b)的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种．所以其概率为P＝＝.(2)因为a∈[0,4]，b∈[0,3]，所以所有的点(a，b)构成的区域的面积为12，而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，满足|a－1|≤|b|，a∈[0,4]，b∈[0,3]的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率P＝.4．张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路1口遇到红灯的概率依次为，.(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)＝C×3＋C××2＝.所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.(2)依题意，知X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝×＝.随机变量X的分布列如表所示：X012PEX＝×0＋×1＋×2＝.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B(3，)，所以EY＝3×＝.因为EX
