2.4.2二分法一．学习要点：二分法的含义及其简单应用二．学习过程：一函数零点有关概念：1.函数的变号零点：如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点，使．这样的零点叫变号零点。2.函数的不变号零点：如果函数的图象在通过零点时不变号，这样的零点叫不变号零点。概念解读：（1）函数在区间上的图象连续，又，则函数在上一定存在零点。反之，若函数在上有零点，却不一定总有；1xyOx0x1x2（2）函数在区间上连续且存在零点，则它在区间端点函数值可能异号也可能同号；（3）判断函数零点是变号零点还是不变号零点，关键在于看曲线通过零点时函数值是否变号.如图，为的不变号零点，、为的变号零点。二函数变号零点的性质：对于函数，如果它的图象是连续不间断的一条曲线，则有：（1）当函数的图象通过零点时（不是二重零点）函数的值变号；（2）在相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。三函数零点的近似解——二分法：[二分法：通过不断地把函数的变号零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的一种计算方法。用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间上，求它在上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差不超过正数．第一步：在内任取一个闭区间，使与异号，即．零点位于区间中。第二步：取区间的中点，计算和，并判断：200a0x0bAMB（1）如果，则就是的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间中，令，；（3）如果，则零点位于区间中，令，.第三步：取区间的中点，计算和，并判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间中，令，；（3）如果，则零点位于区间中，令，.……………第四步：判断是否达到规定的精确度，当时停止计算，就是要求的零点的近似值，否则继续重复第二步，直到满足为止。说明：（1）二分法仅适用于函数变号零点近似值的求解；（2）求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同。精确度为是指在计算过程中得到某个区间小于3，即认为已达到要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到为止。（3）初始区间的选定要适当不要过大也不要过小，一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大。例1求函数的一个正实数零点（精确到）.解：由于，，确定区间作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间，1∵，∴取，即函数的一个正实数零点是.课堂练习：1．函数的不变号零点为（）A．B．C．D．都不是2．函数在一个区间上的图象不间断，并且4，则这个函数在这个区间上（）A．只有一个变号零点B．有一个不变号零点C．至少有一个变号零点D．不一定有零点3．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间上，当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（）A．B．C．D．4．求方程在内的近似根，用二分法计算到达到精度要求，那么所取误差限制是（）A．B．C．D．5．图象连续不间断的函数定义在上，若有．要用二分法求的一个零点，误差不超过，至少将进行二等分区间的次数为课后作业：见作业（24）5
