第2课时参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上___________的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝fty＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在__________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．任意一点这条曲线上参数普通方程2．几种常见曲线的参数方程(1)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是_________________(t为参数)．x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα【思考探究】在直线的参数方程x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)中，(1)t的几何意义是什么？(2)如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离？提示：(1)t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2.(2)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是______________，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程x＝rcosα，y＝rsinα.x＝a＋rcosαy＝b＋rsinα(3)椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是__________，其中φ是参数．椭圆x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)的参数方程是__________，其中φ是参数．x＝acosφy＝bsinφx＝bcosφy＝asinφ参数方程化为普通方程1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程．常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等．2．往往需要对参数方程进行变形，为消参创造条件．(2009·海南、宁夏卷)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．解析：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径为1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|.从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.【变式训练】1.将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2y＝6k21＋k2；(2)x＝1－sin2θy＝sinθ＋cosθ.解析：(1)两式相除，得k＝y2x.将k＝y2x代入得x＝3·y2x1＋y2x2，∴化简所得普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又 x＝1－sin2θ∈[0,2]，∴所求普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．直线的参数方程根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M2M|及中点坐标)．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，即x＝1＋32ty＝1＋12t(t为参数)．(2)把直线x＝1＋32ty＝1＋12t代入x2＋y2＝4，得1＋32t2＋1＋12t2＝4，化简得t2＋(3＋1)t－2＝0，所以t1t2＝－2，则点P到A、B两点的距离之积为2.【变式训练】2.(2010·宁夏银川)已知直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝2＋32t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．解析：(1)x2＋y2＝16.(2)将x＝3＋12ty＝2＋32t代入x2＋y2＝16，并整理得t2＋33t...
