§1三角函数[考情解读]三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交织，是高考中考查的热点．纵观近几年来的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的，在这类问题中平面向量往往只是起到“包装”的作用，实质考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理进行解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是“脱掉向量的外衣，抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化，选择合理的解决方法”，在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，做到推理严谨、计算准确、表达确切，为顺利解答后面的题目提供充分的信心．分类突破热点一三角函数图象及性质例1已知函数f(x)＝cos2(x＋π12)，g(x)＝1＋12sin2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．[规范解答示例]解(1)由题设知f(x)＝12[1＋cos(2x＋π6)]．因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－π6(k∈Z).2分所以g(x0)＝1＋12sin2x0＝1＋12sin(kπ－π6)．当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝34；当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.6分(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝12[1＋cos(2x＋π6)]＋1＋12sin2x＝12[cos(2x＋π6)＋sin2x]＋32＝12(32cos2x＋12sin2x)＋32＝12sin(2x＋π3)＋32.10分当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数h(x)＝12sin(2x＋π3)＋32是增函数．故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z).12分构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角”、“一次”、“一函数”．第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值．第三步：由sinx、cosx的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论．[归纳拓展]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，然后类比y＝sinx，即可求得结果．易错点是忽视当ω<0时，单调性与原来相反．热点二三角函数与正余弦定理例2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2＋c2－b2＝65ac.(1)求2sin2A＋C2＋sin2B的值；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[规范解答示例]解(1)由已知条件及余弦定理得：cosB＝a2＋c2－b22ac＝65ac2ac＝35，sinB＝45，2分∴2sin2A＋C2＋sin2B＝1－cos(A＋C)＋sin2B＝1＋cosB＋2sinBcosB＝1＋35＋2·45·35＝6425.6分(2) b＝2，∴a2＋c2＝65ac＋4，8分又 a2＋c2≥2ac，∴2ac≤65ac＋4，∴ac≤5，10分∴S△ABC＝12acsinB≤12·5·45＝2，∴△ABC面积的最大值为2.12分构建答题模板第一步：实现边角互化．(本题边化角)第二步：三角变换，化简、消元，从而向已知角转化．第三步：代入求值．第四步：反思回顾，检查公式是否用错．[归纳拓展]在处理边角关系时要灵活运用正、余弦定理，把题设中的角或边统一，因此边角条件在整合时要灵活，细心到位．热点三三角函数与平面向量例3在锐角△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且3(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．又已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求|3m－2n|的取值范围.[规范解答示例]解因为3(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB，所以tanA－tanB1＋tanA·tanB＝33，即tan(A－B)＝33.2分又△ABC为锐角三角形，则0
