5.2--平面向量基本定理及坐标表示VIP免费

§5.2平面向量基本定理及坐标表示要点梳理1.两个向量的夹角（1）定义已知两个向量a和b,作=a，=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时，夹角θ=;a与b反向时，夹角θ=.OAOB非零0°≤θ≤180°180°0°基础知识自主学习(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果e1,e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1,2,使a=.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.90°a⊥b不共线有且只有1e1+2e2基底(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对叫做向量a的坐标，记作a=，其中叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标.②设=xi+yj，则向量的坐标（x,y)就是，即若=（x,y），则A点坐标为,反之亦成立.（O是坐标原点）(x,y)xy(x,y)OAOAOA终点A的坐标（x,y）互相垂直3.平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘运算.（2）向量坐标的求法已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=.AB终点始点bx1y2-x2y1=0基础自测1.（2008·辽宁）已知四边形ABCD的顶点A(0,2)、B（-1，-2）、C（3，1）,且=2则顶点D的坐标为（）A.B.C.(3,2)D.(1,3)解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),∴=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D（x，y), =(x,y-2),=2,∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=.BC,ADA)27,2()21,2(BCBCADAD272.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（）A.9B.6C.5D.3解析 a∥b，∴12-2x=0，∴x=6.3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与同向的单位向量是（）A.B.C.D.解析 A（4，1），B（7，-3），=（3，-4），∴与同向的单位向量为BAB)54,5()54,5()5,54()5,54(ABAB).5,53(||ABABA4.（2008·安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则等于（）A.（-2，-4）B.（-3，-5）C.（3，5）D.（2，4）解析如图所示，（-1，-1），所以（-3，-5）.BABBDABACBCADABADBDAC5.已知向量a=（8,x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为.解析a-2b=（8-2x,x-2），2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,x-2）=(16+x,x+1)8-2x=(16+x)x-2=(x+1)4212121x=4(x＞0).21题型一平面向量基本定理【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.直接用c、d表示、有难度，可换一个角度，由、表示、，进而解方程组可求、.思维启迪AMANABADABADABADAMANABAD题型分类深度剖析解方法一设=a，=b，则a==d+（b）①b==c+(a)②将②代入①得a=d+(),代入②得ABADNBAN21MDAM2121)]21([accda3234.3234)3234()21(dccdcb方法二设=a，=b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以b，a，c=b+aa=(2d-c)d=a+bb=(2c-d),即=（2d-c），=（2c-d）.ABAD21BN21DM因而21213232AB32AD32平面向量基本定理从理论上说明平面内任何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说、一定能用c、d表示.本题用方程的思想使问题得以解决.ABAD探究提高知能迁移1如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若则m+n的值为.解析设=a，=b，（a+b）-,,ANnACAMmABABAC21AMAOMO,21)121(1baamm同理由∥得=①②①×②整理得m+n=2.答案2ba)121(21nNOMONONOMO即21)121(21121nm题型二向量的坐标运算【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.“以A、B、C为顶点的平行四边形”可以有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；（3）ABDC.解设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则...