§11.2直接证明与间接证明知识诠释思维发散直接证明与间接证明1.两类基本的证明方法:直接证明与间接证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.2.综合法利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.综合法的证明步骤用符号表示是:P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论).3.分析法从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.用分析法证明的逻辑关系是:B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知).4.反证法先假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法.1.对判断“a,b,c至少有一个是正数”的反设是()(A)a,b,c至少有一个是负数.(B)a,b,c至少有一个是非正数.(C)a,b,c都是非正数.(D)a,b,c都是正数.的情况,还差一种情况,即三个都是非正数.【答案】C【解析】注意“a,b,c至少有一个是正数”就是a,b,c中有一个是正数、有两个是正数、有三个是正数.对于a,b,c与正数2.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图像与f(x)的图像重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是()①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b),②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a),④f(a)-f(-b)0,f(b)=g(b)>0,且f(a)>f(b),g(a)>g(b),∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b),而g(a)-g(-b)=g(a)-g(b),∴g(a)+g(b)-[g(a)-g(b)]=2g(b)>0,∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b).同理可证:f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a).【答案】A3.a=-,b=-,则a与b的大小关系为.【解析】可直接比较a2与b2的大小,或比较+与2的大小,或考察函数y=-的单调性.【答案】a0,ab+bc+ca>0且abc>0,求证:a,b,c都大于零.【分析】欲证“a,b,c都大于零”,从正面证明比较麻烦,我们可以从反面入手,利用反证法.【解析】假设a,b,c不都大于零,即至少有一个小于零或等于零.(2)若某一个小于零,不妨设a<0,由abc>0,得bc<0,由a+b+c>0,得b+c>-a>0,那么-a(b+c)>0,得a(b+c)<0,即ab+ac<0,结合bc<0,得ab+bc+ca<0,与ab+bc+ca>0矛盾.结合(1)(2)知a,b,c都大于零.【点评】本题由于要证a,b,c都大于零,显然用直接证明较为麻烦,从反面入手,借助不等式的基本性质很快产生了与已知矛盾的结果,本题虽然不难,但推理也并不轻松.(1)若某一个等于零,则abc=0,与abc>0矛盾;变式训练2已知f(x)=x2+ax+b.(1)求:f(1)+f(3)-2f(2);(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【解析】(1) f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.12(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于.则-<...
