第五十四讲曲线与方程走进高考第一关考点关回归教材1.曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系.(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么,这条曲线叫做方程的曲线,这个方程叫做曲线的方程.2.求曲线方程的步骤一般地,求曲线方程的步骤如下:(1)建系,设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M(x,y);(2)写集合:写出适合条件的点M的集合P={M|P(M)};(3)列式:用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)证明或检验:证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明:求动点轨迹时要注意它的完备性与纯粹性,在化简过程中有可能破坏了方程的等价性,故要注意补上遗漏的点或去掉多余的点.3.求曲线方程的常用方法(1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,易于表述成含x,y的公式,可用直接法.(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(如圆锥曲线的定义)可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.(3)间接法:若动点所满足的条件不易表述或求出,但轨迹的动点P(x,y)可以借助于另外的点或参数,建立关系式,从而整理出P的方程,利用这种方法要注意引进参数的实际意义和取值范围.考点训练1.已知点M(1,0),直线l:x=-1,点B是l上的动点,过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P,则点P的轨迹是()A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.直线解析:如图:P是线段BM垂直平分线上一点,则|BP|=|PM|,故P点的轨迹在以M为焦点,以l为准线的抛物线上,故A正确.答案:A2.在圆x2+y2=25上任意取一点P向x轴作垂线PP′交x轴于P′点,且在垂线PP′上取一点M满足关系式|PP′||MP′|=53,则点M的轨迹方程为.:,,,,,.,.1.92222225MxyPx0Pxy32xyPxy15259xyM25解析设点则由已知得点坐标为将点坐标代入整理得即点的轨迹方程为:1922xy25答案3.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()解析:|PM|-|PN|=|MC|-|ND|=|MB|-|BN|=4-2=2.由双曲线的定义知a=1,c=3,b∴2=8.轨迹方程为x2-=1(x>1).答案:A.1x18.1x18.1x08.()22222222yAxyBxyCxyDx1x1102y84.已知两点A(-3,0)、B(3,0),点M为直角坐标平面内的动点,且满足,则动点M(x,y)的轨迹方程为()A.y2=12xB.y2=-12xC.y2=6xD.y2=-6x||ABAMABBM0�:,,(,),,,,,,,,,,(),,B.22MxyA30B30AB6AB60AMx3yBMx3yABAMABBM06x3y6x30y212x���解析设由、得由得化简整理得所以选答案:B解读高考第二关热点关题型一用直接法求轨迹方程例1(2009·湖南节选)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和.求点P的轨迹C.点评:本题中动点P的等量关系由题设条件直接给出,属于直接法,在化简过程中遇到含绝对值或平方、开方的问题要注意变量的范围.:,,,,,,,_________.y1A2yB0Cxy2ABBCC�变式设平面上有三个点若则动点的轨迹方程为答案:y2=8x题型二定义法求轨迹方程例2已知椭圆C1:=1(a>0,b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足的取值范围.2222xyab33,||QRRS0QS�求点评:利用定义法求轨迹方程是常考内容,解题时可先根据题设条件,观察动点是否符合曲线的定义,再由曲线定义出发,得到轨迹方程,如本题中第(2)题,由|MF2|=|MP|,可以确定动点P的轨迹符合抛物线的定义,进而求出方程.变式2:如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是()A.圆B.椭圆C....
