高三数学《空间向量的直角坐标运算》课件-新人教版VIP专享VIP免费

3.1.4空间向量的直角坐标运算1．空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量,,ijk，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{,,ijk}，这个基底叫做单位正交基底。单位向量,,ijk都叫做坐标向量。a3ka2ja1ijkiazyxO空间直角坐标系Oxyz，也常说成空间直角坐标系[O；,,ijk]。在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使123aaiajak，123,,aiajak分别为向量a在,,ijk方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标。上式可简记作a=(a1，a2，a3)。于是，我们在空间向量集合的元素与三元有序实数组集合之间建立起了一一对应关系，即123(,,)aaaaPzkyjxijkiazyxO设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则容易得到a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a－b=(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；λa=(λa1，λa2，λa3)；112233abababab。在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点P，相对于原点确定了一个向量OP�，设OPxiyjzk�，则(x，y，z)也就是点P的坐标，即P(x，y，z)，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则212121(,,)ABOBOAxxyyzz�，这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2．空间向量的平行和垂直的条件我们知道，换用坐标表示，得//(0)abbab112233//(0)ababbabab当与三个坐标平面都不平行时，312123//aaaabbbbb换用坐标表示，得0abab两个向量垂直，,ab1122330abababab例1．已知a=(1，1，0)，b=(0，1，1)，c=(1，0，1)，p�=a－b，q=a+2b－c，求,,pqpq�。(1,0,1)p�(0,3,1)q1pq�例2．已知向量a=(－2，2，0)，b=(－2，0，2)，求向量n，使得n⊥a且n⊥b。解：设n=(x，y，z)，则na=(x，y，z)·(－2，2，0)=－2x+2y=0，nb=(x，y，z)·(－2，0，2)=－2x+2z=0，解方程组00xyxz，这个方程组有三个未知数，但只有两个方程，不妨把未知数x当作已知，求y，z.可得y=x，z=x，于是n=(x，x，x)=x(1，1，1)。3．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb，112233222222123123cos,||||ababababababaaabbb。设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则222212121||()()()ABxxyyzz�。例3．已知A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，3)，求（1）,ABAC�；（2）AC�在AB�上正投影的数量。DCBAzyxO解：（1）由点A，B，C的坐标可求得(1,2,0)AB�，(1,1,3)AC�，||5,||11ABAC�，1121031ABAC�，因此1cos,||||55ABACABACABAC���，查表得,82.3ABAC�.（2）AC�在AB�上正投影的数量AD=||cos,ACABAC�=11110.45555.例4．已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量122MM�1cos21cos22cos223,,3340112(,,)222a例5．如图，在正方体1111DCBAABCD中，4111111BAFDEB，求1BE与1DF所成的角的余弦值．解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝i，DC＝j，1DD＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D...