第三十三讲向量的数量积走进高考第一关考点关回归教材.,,,,0,,b.,(,),(,),112212121abOOAaOBbAOBababa2abababcosaxybxyabxxyy0a0�向量的数量积的有关概念两个非零向量和过点作则叫做与的夹角其中当与的夹角为时叫若与的夹角为则设则规定2.向量的数量积的几何意义设θ为a与b的夹角,则|a|cosθ叫做a在b方向上的投影.|b|cosθ叫做b在a方向的投影,a与b的数量积是|a|与b在a方向的投影的乘积.22223.ab,abab0abcos(ab)ababababbaababababcacbcaax,y,aaxy向量数量积的性质及运算律设、为非零向量其中为与的夹角设则4.注意:两个向量的数量积是一个实数,且数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c),a·b中的“·”不能忽略.考点训练1.(2009·宁夏海南)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()1111....7766ABCD答案:A:(,),,,,()(),:1,.7ab312a2b12aba2b1312203140解析与垂直即2.(2009·辽宁)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.3B.23C.4D.12答案:B3.(2009)a1,b2,aab,ab宁夏银川模拟已知且则向量与的夹角是()A.30°B.45°C.90°D.135°答案:B2:aabaa5b0212cos0,cos,0,180,245.解析由得即又4.向量a的模为10,它与x轴的夹角为150°,则它在x轴上的投影为()A.-5B.5C.-5D.5333答案:A解析:由10·cos150°=-5,知答案为A.5.已知a=(m+1,-3),b=(1,m-1),且(a+b)(a-b),⊥则m的值是________.答案:-2解析:a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-2-m)(a+b)(a-b),m(m+2)-(m-4)(m+2)=0 ⊥∴m=-2.∴解读高考第二关热点关题型一向量的数量积的概念(),,,b________.(),________.()a1,x,b,,,________.AB12009ab30a2b3aba2RtABCC5BCBCCACAAB3200921xab0x��例江苏已知向量与向量的夹角为则向量与向量的数量积已知的、北連则的值等于宁夏银川模拟设若则实数的取值范围是答案:(1)3(2)-25(3)(-∞,-1)(2,+∞)∪点评:(1)掌握向量的数量积是解决此类问题的关键.(2)在求向量的数量积时一定要注意两向量的夹角.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.变式1:若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为________.:655答案:.ab82165b51649解析由22221abcabc0,abc,ab,a1,abc.2(2009)ONPABC,OAOBOC,NANBNC0,PAPBPBPCPCPA,ONPABCA.��题型二有关垂直问题例已知向量、、满足求的值宁夏海南已知、、在所在平面内且则点、、依次是的()重心、外心、B.C.D.垂心重心、外心、内心外心、重心、垂心外心、重心、内心3ABC,2,3,AC1,k,ABC,k.AB�在中若是一个直角三角形求的值点评:解决向量垂直常利用向量的坐标运算求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量垂直的充要条件.在解题时需分情况讨论的要注意分情况讨论,在分类时要做到不重不漏.变式2:已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°,λb-a与a垂直,则λ=_________.答案:2解析:由(λb-a)5a=λa5b-a2=0,得2λ-4=0,λ=2.2题型三有关夹角问题例3(1)设|a|=4,|b|=3,(2a-3b)5(2a+b)=61,求a与b的夹角;(2)设两个向量e1,e2|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为60°,若2te1+7e2与e+te2的夹角为钝角,求t的取值范围.b:,ab;(),,,.a1cosab2abab0ab0abab点评记住公式是解决此类问题的关键由与夹角为钝角可知但时与可能夹角为钝角也可能与共线且反向因此在解题时一定要注意变式3:(2009·全国Ⅰ)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,则a+b=c,则
=()A.150°B.120°C.60°D.30°答案:B:1||,||,cosa,b,2,0,180,,22222abcab2abc2acosabaabab120解析由得又题型四有关距离问题例4(1)已知a、b满足|a|=6,|b|=4,且a与b的夹角为60°,求|a+b|和|a-3b|;(),||||||||||||,___...
