考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．热点提示1．本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等．2．以选择、填空题的形式考查，属于低档题．1．二项式定理公式(a＋b)n＝(n∈N*)叫做二项式定理．其中C(k＝0,1,2…，，n)叫做Tk＋1＝叫做二项展开式的通项，它表示第项．Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn二项式系数．Can－kbkk＋1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.1．(2x－1)6的展开式中x2的系数为()A．15B．60C．120D．240解析：(2x－1)6＝(－1＋2x)6⇒T3＝C(－1)4·(2x)2＝60x2.故选B.答案：B2．若(3x－132x)n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是()A．3B．4C．10D．12解析：Tr＋1＝Crn(3)n－r(－132)rxn－43r，令n－43r＝0，n＝43r，当r＝3时，正整数n的最小值是4.答案：B3．(2008·青岛一模)在(x2－1x)n的展开式中，常数项为15，则n＝()A．3B．4C．5D．6解析：Tk＋1＝Cknx2(n－k)(－1x)k＝Ckn(－1)kx2n－3k，由2n－3k＝0得k＝2n3，因为常数项为15，检验知n＝6.答案：D4．(x＋33x)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则(1－x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________．解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n＝64，所以n＝6，(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－C36＝－20.答案：－205．(1x＋2x2＋3x3＋…＋nxn)(1＋x)n的展开式中常数项(不含x的项)为________．解析：(1x＋2x2＋3x3＋…＋nxn)(1＋x)n的展开式中常数项为C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1.【例1】已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．因为第6项为常数项，所以r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2.∴所求的系数为C210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k， r∈Z，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.(1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n，r均为非负整数，n≥r))；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.变式迁移1(2009·全国卷Ⅱ)(xy－yx)4的展开式中x3y3的系数为________．解析：二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr4(xy)4－r(－yx)r＝(－1)rCr4x4－r2·y2＋r2，令4－r2＝2＋r2＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C24＝6.答案：6【例2】已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，求(2x－1x)2n的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.2∴n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，(2x－1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大．即T6＝C510·(2x)5·(－1x)5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大． Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·(－1x)r＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，∴Cr10·210－r≥Cr－110·211－rCr10·210－r≥Cr＋110·210－r－1，...
