第十三章轴对称13.1轴对称第2课时线段的垂直平分线的性质1课堂讲解线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点线段垂直平分线的性质知1-导探究如图13.1-6,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,……是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?(来自教材)知1-导可以发现,点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折,线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的,因此它们也分别相等.(来自教材)知1-导归纳由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法,也可以证明这个性质.(来自教材)如图13.1-7,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证PA=PB.证明:∵l⊥AB,∠PCA=∠PCB.又AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.知1-导(来自教材)【例1】如图,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB,AC于点E,D,(1)若△BCD的周长为8,求BC的长;(2)若BC=4,求△BCD的周长.知1-讲导引:由DE是AB的垂直平分线,得AD=BD,所以BD与CD的长度和等于AC的长,所以由△BCD的周长可求BC的长,同样由BC的长也可求△BCD的周长.解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴BD+CD=AD+CD=AC=5.(1)∵△BCD的周长为8,∴BC=△BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3.(2)∵BC=4,∴△BCD的周长=BC+BD+CD=5+4=9.知1-讲总结知1-讲本题运用了转化思想,用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长,从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长.本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化,知其二可求第三者.1(中考•义乌)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为()A.6B.5C.4D.3知1-练2如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?知1-练(来自教材)2知识点线段垂直平分线的判定知2-导反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?(来自教材)知2-导归纳通过证明可以得到:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.从上面两个结论可以看出:在线段AB的垂直平分线l上的点与A,B的距离都相等;反过来,与A,B的距离相等的点都在l上,所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.知2-讲【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.求证:直线AD是CE的垂直平分线.知2-讲导引:根据角平分线的性质可得CD=DE,所以点D在CE的垂直平分线上,只要再证点A也在CE的垂直平分线上,就能证明.证明:∵AD平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴CD=DE,∴点D在CE的垂直平分线上;在Rt△ADC和Rt△ADE中,AD=AD,CD=ED,∴Rt△ADCRt△△ADE,∴AC=AE,∴点A也在CE的垂直平分线上,∴直线AD是CE的垂直平分线.总结利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线,必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上).易错提醒:只证明一个点在线段的垂直平分线上,就说过该点的直线是线段的垂直平分线.因为过该点的直线有无穷多条,其中只有一条是线段的垂直平分线.注:证线段的垂直平分线也可以利用定义.知2-讲1如图,AC=AD,BC=BD,则有()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.以上都不正确知2-练2如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?知2-练(来自教材)性质线段的垂直平分线判定必做:请你完成教材P65习题13.1的6、9、13题