3.4基本不等式(2)VIP专享VIP免费

3.43.4基本不等式基本不等式第2课时复习旧知：),(222Rbaabba(,2ababab是正实数）1.重要不等式：2.基本不等式:时取等号当且仅当ba注意两个不等式的成立条件公式的常见变形形式：222abab22abab以上两个公式是由怎样变形得来的？例课本100页练习3题：用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形的长与宽分别为acm,bcm,a>0,b>0,由题意a+b=10所以22102522abSab,当且仅当a=b=5时取等号答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.222abab222abab由可得出2abab22abab由可得出公式的变形形式可以直接使用引例（1）把36写成两个正数的积，当这两个数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个数取什么值时，它们的积最大？解：（1）设两个数为a,b,则a>0,b>0,ab=36212abab当且仅当a=b=6时和最小.（2）设两个数为a,b,则a>0,b>0,a+b=1828122abababab当且仅当a=b=9时积最大.那么，对于一般的正数有什么结论？,xy例1已知都是正数，求证：（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；（2)如果和是定值，那么当时，积有最大值.yx,xypyxyxyxp2241syxxys我们把它称为极值定理Ryx,2xyxypyx22xyp证： xyp(1)当为定值时，min()2xypyx 上式当“时取=”2sxy214xysxys(2)当为定值时，2max41)(sxyyx所以当时有简记：积定和最小，，和定积最大yx 上式当“时取=”yx所以当时有,xy,xy,xy说明：用极值定理可求函数的最值，在求函数的最值时应注意：(1)定理的成立条件:只有当都是正数时才成立，即只有当都是正数时，才能应用；但当都是负数时，也可应用.例如：求函数xxy1的值域.解：函数的定义域是,00,(1)0x1122yxxxx1x当时，，当时取等号0x(2,)时，值域为(2)0x1yxx1()xx122xx1x当时，当时取等号0x(,2)时，值域为综上，原函数的值域为(,2)(2,)⑵求和的最小值，积必为定值，求积的最大值，和必为定值，否则不能用定理.x1x11yxx例：若，则为何值时有最小值，最小值为几？11xxy12xx12xx1xxx解：，就说“最小值为”是错误的，因为不是定值，它会随的变化而变化.11xx215x215x15y若继续：当且仅当，即（舍去）时取等号，，则也错误.代入得1x10x011x11yxx11112(1)121111xxxx解： 111xx0x即时1)11(minxx当且仅当正确的解法为：⑶一定要能取到等号.例：求2122xxy的最小值.221222xxy0221)2(222xx若这样解：所以它的最小值为0显然是错误的.正解：22,2,txt则12ytt令1,2,函数在（0，1）为减函数，在上为增函数，上为增函数当t=2时，即x=0时，函数取得最小值为1222122xx此时无解.故在等号成立条件不存在利用极值定理求最大值或最小值时应注意：(1),xy都是正数;⑶等号是否能够成立.(2)求积最大值时，应看和是否为定值；求和最小值时，看积是否为定值;xyxyxyxy简记为一正二定三相等，三者缺一不可！(1)lglog102xx)1(x例2证明下列各题：1xlg0x010logxlglog102lglg102xxxx(1)证：⑵若上题改成10x，结果将如何？01xlg0x010logx(lg)(log10)2xx210loglgxx(2)解:从而1ba41ab⑶若，则Rba,21024abab,ab若0ab解：若则显然有异号或一个为0则14ab.随堂练习：找找以下做法是否正确，说明理由.错的，给出正确作法.⒈已知（）,求函数的最小值.3()2fxxx2x解：当且仅当即时取等号33()222fxxxxx232xxx3x所以函数的最小值为6.⒉已知，求函数的最小值.0,24sinsiny解:44sin2sin4sinsiny故最小值为4.,xy14()()xyxy3...