3.1.2导数的概念VIP免费

3.1.2导数的概念2情境一：教师手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？3实践活动在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65049t平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.4在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态。又如何求瞬时速度呢?需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.5问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+t)s△这段时间内平均速度tthththv9.41.13)2()2(△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv051.13v当△t=–0.01时,149.13v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,09951.13v当△t=–0.0001时,10049.13v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,0999951.13v△t=–0.000001,1000049.13v△t=0.000001,…………105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+t)s△这段时间内平均速度tv9.41.13问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,t△趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v从2s到(2+t)s△这段时间内平均速度tthv9.41.13问题四：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt105.69.4)(2ttth问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？000()()limvrvvrvv()fx()fx0xx问题六：如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？tthttht)()(lim000000()()limvrvvrvv}xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作.)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx)(0xf或,即0|xxy;)().1(000其导数值一般也不相同的值有关，不同的与xxxf的具体取值无关。与xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2(由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxff.lim)(00xfxfx;)()(00xxfxxfxf一差、二化、三极限例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f和xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CC例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.变式练习：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满...