(江西专用)2014年高考数学一轮复习-5.3-平面向量数量积与综合应用课件-文-新人教A版VIP免费

§5.3平面向量数量积与综合应用一、两个向量的夹角知识诠释思维发散1.定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.2.范围:向量夹角的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°,a与b反向时,夹角θ=.3.向量垂直:如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作:a⊥b.OAOB1801.a,b是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数量|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cosθ,规定0·a=0,当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.2.a·b的几何意义:a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积.二、平面向量数量积的意义2.若a,b是非零向量,则a⊥b⇒a·b=0且a·b=0⇒a⊥b;3.a·a=,|a|=;4.若a,b是非零向量,则cos=;5.|a·b|≤|a|·|b|.2||aaa||||abab三、向量数量积的性质1.如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos;2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;3.λR,∈λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).四、数量积的运算律1.交换律:a·b=b·a;3.|a|=;4.若a,b是非零向量,则cos=.2212aa112222221212ababaabb五、数量积的坐标表示设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则1.a·b=a1b1+a2b2;2.a⊥b⇒a1b1+a2b2=0;1.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=.【解析】λa+b=(λ+4,-3λ-2),λa+b与a垂直,则(λ+4)×1+(-3λ-2)×(-3)=0,10∴λ=-10,∴λ=-1.【答案】-12.平面向量a与b的夹角为120°,a=(-2,0),|b|=1,则|a+b|等于()(A)3.(B).(C)7.(D).【解析】由题意得:|a|=2,|a+b|===.【答案】B37222abab41221cos12033.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=.【解析】 向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,∴向量b与向量a共线,∴向量b可以设为(λ,-2λ),∴=3,∴λ=±3. 反向,∴λ=-3,∴b=(-3,6).【答案】(-3,6)522(2)λλ5核心突围技能聚合题型1求两向量的夹角例1已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求(1)a与b的夹角;(2)a-b与a+b的夹角的余弦值.【分析】(1)由a-b与a+b的数量积可得出|a|,|b|的关系;(2)计算a-b与a+b的模.1212又 |a|=1,|∴b|==.设a与b的夹角为θ,则cosθ===.又 θ[0,π],∈∴θ=.(2)( a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,∴|a-b|=.21||2a22||||abab1221222412121222【解析】(1)( a-b)·(a+b)=,|∴a|2-|b|2=.1212 (a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,∴|a+b|=.设a-b与a+b的夹角为α,则cosα===.【点评】本题重在对基础知识及基本运算的考查.121252102()()||||abababab122102255变式训练1已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)·(2a-b)=61.(1)求a·b的值;(2)求向量a与b的夹角.(2)设向量a与b的夹角为θ,则cosθ===,又 θ[0∈,π],可知向量a与b的夹角为60°.||||abab64312【解析】(1)由(2a+3b)·(2a-b)=61,得4a2+4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,可得a·b=6.题型2两平面向量的平行垂直问题例2设x,yR,∈向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于()(A).(B).(C)2.(D)10.【分析】先由向量垂直的充要条件求出x,向量平行的充要条件求出y,再由模的公式求模.5105解得y=-2,所以a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|==.【答案】B223110【解析】因为a⊥c,所以a·c=0,即2x-4=0,解得x=2.由b∥c,得-4=2y,【点评】本题考查平面向量垂直与平行的充要条件、向量的坐标运算、向量的模等.变式训练2已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c(⊥a+b),则c等于()(A)(,).(B)(-,-).(C)(,).(D)(-,-).7973737973797973【答案】D【解析】不妨设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)∥b,则有3(1+m)=-2(2+n).又c(⊥a+b),则有3m-n=0,则有m=-,n=-,故答案D.7973题型3向量与三角函数例3已知向量a=(cos,sin),b=(cos,-sin)且x∈[-,].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.【分析】利用数量积的坐标运算及性质即可求解,在求|a+b|时注意x的范围.32x32x2x2x34【解析】(1)a·b=coscos-sinsin=cos2x,|a+b|===2|cosx|. x[∈-,],cos∴x>0,|∴a+b|=2cosx.32x2x32x2x2233(coscos)(sinsin)2222xxxx22cos2x34∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值-;当cosx=1时取...