如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。如图，若AD为△ABC的中线，必有结论：ABCDE12延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。△ABDECD△，∠1=E∠，∠B=2∠，EC=AB，CEAB∥。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。△ADEADC≌△。ED=CD，321∠AED=C∠，∠ADE=ADC∠。方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：△ABDAFD≌△。BD=FD，如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：321如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。∠B=F∠，∠ADB=ADF∠。如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：过点D作DMAB⊥于M，DNAC⊥于N。必有结论：△AMDAND≌△。DM=DN，321如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN，∠ADM=AND∠。（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCE（方法一）在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 BD是∠ABC的角平分线，∴∠1=2.∠在△ABD和△EBD中AB=EB, ∠1=2,∠BD=BD,∴△ABDEBD≌△（SAS）1243 ∠3+4∠＝180°，∴∠A+C∠＝180°321∴∠A＝∠3,AD=DE AD=CDDE=DC∴∴∠4=C∠（等边对等角）证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCF（方法二）延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 BD是∠ABC的角平分线∴∠1=2∠在△BFD和△BCD中BF=BC ∠1=2∠BD=BD∴△BFDBCD≌△（S.A.S）1243 ∠F＝∠C，∴∠4=C∠。321∴∠F＝∠C，DF=DC AD=CD，∴DF=AD∴∠4=F∠（等边对等角） ∠DAB+4∠＝180°，∴∠DAB+C∠＝180°。证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM（方法三）过点D作DMBC⊥于M，DNBA⊥交BA的延长线于N。 BD是∠ABC的角平分线，∴∠1=2∠。 DNBA⊥，DMBC⊥，∴∠N=DMB=90°∠。在△NBD和△MBD中 ∠N=DMB,∠∠1=2,∠BD=BD,12N43321△NBDMBD≌△（AAS）∴ND=MD例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM12N43321 DNBA⊥，DMBC⊥，∴∠N=DMC=90°∠。在RtNAD△和RtMCD△中 ND=MD,AD=CD,∴RtNADRtMCD△≌△（HL）∴∠4=C∠， ∠DAB+4∠＝180°，∴∠DAB+C∠＝180°。证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DABCM(方法四）过点D作DMBC⊥于M，DNBA⊥交BA的延长线于N。12N43321 BD是∠ABC的角平分线，DNBA⊥，DMBC⊥，∴ND=MD。∴∠4=C∠ DNBA⊥，DMBC⊥，∴∠AND和∠CMD=90°在RtNAD△和RtMCD△中 ND=MD，AD=CD，∴RtNADRt△≌MCD△（HL） ∠DAB+4∠＝180°,∴∠DAB+C∠＝180°.练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDE1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 AD是∠BAC的角平分线，∴∠1=2∠。在△AED和△ACD中 AE=AC，∠1=2∠，AD=AD，∴△AEDACD≌△（S.A.S）3∴∠B=4∠（等边对等角）4∴∠C＝∠3，ED=CD AB=AC+CD=AE+EB，∴EB=DC=ED。 ∠3=B+4=2B∠∠∠，∴∠C=2B∠。练习1如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 AD是∠BAC的角平分线，∴∠1=2∠。 AB=AC+CD，CF=CD，∴AB=AC+CF=AF。 ∠ACB=F+3=2F∠∠∠，∴∠ACB=2B∠。321在△ABD和△AFD中 AB=AF，∠1=2∠，AD=AD，∴△ABDAFD≌△（SAS）。∴∠F＝∠B， CF=CD，∴∠B=3∠（等边对等角）练习2如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长AE，交直线PQ于点F。30*21ABCDEMNPQ1234F5练习2如图，已知直线...
