分类计数原理与分步计数原理兆麟中学高二数学组问题1.如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车有2班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?甲··乙火车1火车2火车3汽车1汽车2思考:1.要完成从甲地到乙地这件事,从交通工具上只需选择类,就可以到达目的地.2.要完成从甲地到乙地这件事,若选择乘火车有种不同的走法,若选择乘汽车有种不同的走法.3.完成从甲地到乙地这件事,共有种不同的走法.4.完成从甲地到乙地这件事的不同的走法数与上述乘火车和乘汽车的走法数的关系是1325:乘汽车和火车的走法数的和等于完成这件事的不同走法数分类计数原理做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。注意:每一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,即各类之间的方法都是相互独立的.2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南思考:1>.从A村经B村去C村有步,第一步,由A村去B村有种方法第二步,由B村去C村有种方法.2232>完成从A村到C村这件事共有种不同的走法.63>完成从A村到C村的不同走法数与上述两步中各自走法数的关系是:从A到B的走法数和从B到C的走法数的积等于从A到C的走法数分步计数原理做一件事情,完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。注意:只有各步骤都完成了,才算完成这件事,即各个步骤相互依存例1.某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;所以,根据分类计数原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9。(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？例题讲授:分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有m1=5种方法;第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;所以,根据分步计数原理,得到不同选法种数共有:N=5×4=20种。练习1:书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有3本不同的数学书,第3层放有2本不同的外语书.•(1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法?•(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?例2:.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8种不同的走法;所以从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法。例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，不同的选法数是Ｎ＝３×２＝６种6种选法可以表示如下：日班晚班日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法例4.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,(1)可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？问:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？解:它们的密码种数依次是104,105,106,……1010种。(3)个位数字不为0的密码数是多少？(2)个位数字是0的密码数又是多少？分析:ƓƓƓ101010××=103(种)个十百解:N=10×10=102(种)解:N=10×10×9=900(种)练习5:设有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画,从这些画中选出两幅不同种类...
