二项式系数的性质VIP免费

16.3.2二项式系数的性质一：学习任务：1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用.(难点)2.理解和初步掌握赋值法及其应用.(重点)二:学习重难点教学重点：理解和初步掌握赋值法及其应用.教学难点：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用.三：教学过程(一)教学情境引入：(a+b)n的展开式的二项式系数Co,C1,C2，…，Ck，…，Cn有很多有nnnnn趣的性质，这节课就让我们从不同的角度来研究一下吧.(二)基础知识讲解：问题1：你可以分别计算n=1,2,3,4,5,6时的二项式系数，并将通过合适列表呈现出来吗？(tf+fr)1II(tf+fr)2121(tf+A)51331価+扔」14641(a+b)515101051W+呼…I61520156I问题2：你发现了哪些规律？知识点二项式系数的性质(1)Cm=Cn-m，Cm+Cm-1=Cmnnnnn+1n+1n+1⑵即k<—「时，Ck随k的增加而增大；当k>—厂时，Ck随k的增加而减小.2n2n当n是偶数时，中间的一项c；取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C〒和C〒相等，nnn且同时取得最大值.(3)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于力.(三)典型例题讲解：2-2类型1赋值法的应用ao+a2+a4+a6=2-—1+37~~23=1o93.即(CO+C2+C4+••nnn+C3+C5+)=0.nnna1+a3+a5+a7=—1—=—1o94.例1、求证：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.分析：奇数项的二项式系数的和为C0+C2+C4+…，偶数项的二项式系数的和为nnnC1+C3+C5+—.由于(a+b)n二Coan+C1an-1b+C2an-2b2++Cnbn中的a，b可以取任意nnnnnnn实数，因此我们可以通过对a，b适当賦值来得到上述两个系数和.证明：在展开式(a+b)n二Coan+C1an-1b+C2an-2b2+…+Cnbn中,nnnn令a=1，b=-1，贝得(1-1»二Co-C1+C2+•••+(-1”Ck+•••+(-1)〃nnnnn因此Co+C2+C4+…二C1+C3+C5+…，nnnnnn即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.变式：已知(1—2x)7=ao+a1x+a2x2+^+a7x7.求：(1)a1+a2+・・・+a7;(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)ao+a2+a4+a6；(4)laol+la1l+la2l+la7l的值.［解］令x=l，则ao+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=_1，令x=—1，则ao－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7=37.②ao=C7=1，.*.a1+a2+a3Ha7=—2.⑵由(①一②片2，得⑶由(①+②片2，得4(4)法一：(l—2x)7的展开式中，a0,a2，a4，a6大于零，而a.a3，a5，a7不大于零，・°・+laj+qiHla7l—(a。+a?+。厶+。6)—(ai+。3+。厶+a7)=1093+1094—2187.法二：°・°%l+laj+砂卜la7l是(1+2x)7展开式中各项的系数和.•・％l+laj+qila7l=37=2187.类题通法二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax^b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c^R,m,n^N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对(ax+by)n(a,b^R,n^N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.(2)一般地，若fx)=a0+a1x+a2X2+...+anxn,则fx)展开式中各项系数之和为f(1),f(1)+f(－1)奇数项系数之和为a0+a2+a4+2偶数项系数之和为a】+a3+a5+…丿⑴—八T)［跟进训练］1.设(1—2x)2022=a0+a］X+a2x2a2022•x2022(xGR).(1)求a0+a1+a2+a2022的值；(2)求a1+a3+a5+a2021的值；⑶求la0l+la1l+la2l+la2022l的值；(4)a1+2a2+3a3+...+2022a2022的值.［解］(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(－1)2022=1.①⑵令x=—1,得a0_a1+a2a2021+a2022=32皿②①－②得・°・Q]++。5。20211—32022令x=1得，4044=a1+2a2+.+2022a20252(a]+a3a2021)=1—32022,⑶••込+1=C2022(—切十1"C20223,••叫_]V0(kGN*),a2k>0(kGN).・|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2022|=a0—a1+a2-a3+…一a2021+a2022=32022.(4)V(1—2x)2022=a0+a1x+a2x2+...+a2022x2022(xGR),・••两边分别求导得—4044(1—2x)2021=。1+2。2兀+...+2022a?022*2021(xGR),・a1+2a2+3a3+.+2022a2022=4044.类型2二项式系数性质的应用3【例2】已知fx)=(\/X2+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．［思路点拨］求二项式系数最大的项,利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x,y的系数均考虑进去,包括“＋”“－”号．［解］令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项...