12数余的扩充———实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1.把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式（这里p，q是互质的整数，且p≠0）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；3.有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4．明确无理数的真实性.克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；④一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例1】已知02)4(22cbaba．则bac)(的平方根是________.（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性，求出a，b，c的值．2【例2】若a，b是实数，且42212bba．则ba的值是().A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得1b≥0，b22≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：①a中a≥0；②a≥0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】已知实数m，n，p满足等式nmnm199199pnmpnm32253，求p的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现）（nm199，）（nm199互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．【例4】已知a，b是有理数，且032091412)12341()2331(ba，求a，b的值．解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a，b的方程组.实数有以下常用性质：①若a，b都是有理数，c为无理数，且0cba，则a＝b＝0;②若a，b，c，d都是有理数，c，d为无理数，且“dbca，则a＝b，dc．要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数3是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾.想一想怎样证明2是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数x，y，z满足xyz≠0．且0zyx.求证：zyxzyx111111222在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：(1)设a，b，c为两两不相等的有理数，求证：222)(1)(1)(1accbba为有理数．（2）设222222200912008113121121111S，求S的整数部分.解题思路：从公式)(2)(2222acbcabcbacba入手．【例6】设22121111S，22231211S，22341311S，⋯，22)1(111nnSn，求nSSS21的值（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．（四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将nS变形为一个代数式的平台。4能力训练A级1．在实数－4，23，0，12，64，327，271中，共有_______个无理数．（贵州省贵阳市中考试题）2．设33a，b是2a的小数部分，则3)2(b的值为____.(2013年全国初中数学竞赛试题)3．已知094ba，则22222baabababa的值为_______．（山东省济南市中考试题）4．观察下列各式：1131432112，1232543212，1333654312，)(:)2():)(yxyxBABA（猜测：20082007200620051________.（辽宁省大连市中考试题）5．已知有理数A，B，x，y满足0BA，)(:)2():)(yxyxBABA（，那么):BAA（＝________.A.)2:3yxx（B.)24:3yxx（C.):yxx（D.)2:2yxx（（2013年“实中杯”数学竞赛试题）56．若x，y为实数，且022yx，则2009)(yx的值为()．A.1B．－1C．2D．－2（天津市中考试题）7．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是()．A.aB．12aC．12aD．1a...
