两条直线的位置关系与对称问题VIP专享VIP免费

1/5第63讲两条直线的位置关系与对称问题【学习目标】1．掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题．2．掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法．并能利用图形的对称性解决有关问题．1．已知直线ax－2y－1＝0和直线x－y＋2＝0互相垂直，则a的值为()A．1B．－13C．－23D．－2【解析】由题设可得a2×1＝－1，因此a＝－2，故选D.2．实数a＝0是直线x－2ay＋1＝0和2x－2ay＋1＝0平行的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】直线x－2ay＋1＝0和2x－2ay＋1＝0平行，则1×(－2a)－(－2a)×2＝0，得a＝0.而a＝0时，直线x＋1＝0与2x＋1＝0平行，故选C.3．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0，若直线l2和l1关于直线l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0【解析】设A(x，y)，A1(x1，y1)分别是直线l2、l1上关于l对称的点．则y1－yx1－x·1＝－1x＋x12－y＋y12－1＝0，求得x1＝y＋1y1＝x－1①又点A1(x1，y1)在直线l1上，则2x1－y1－2＝0②将①代入②得2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即x－2y－1＝0，故选B.4．直线l1：x＋y＝0，l2：3x－y－6＝0和x轴围成的三角形的面积等于.【解析】由x＋y＝03x－y－6＝0得x＝32y＝－32，又直线l1与x轴相交于点O(0,0)，直线l2与x轴相交于点(2,0)，从而围成的三角形的面积S＝12×2×|－32|＝32.【知识要点】1．两直线的位置关系的判定方法一：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1不同为0；A2、B2不同为0)．(1)l1与l2相交?(A1A2≠B1B2)，特况：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.(2)l1与l2平行?且.(3)l1与l2重合?且.A1B2≠A2B1A1B2＝A2B1A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)(A1A2＝B1B2≠C1C2)A1B2＝A2B1A1C2＝A2C1(或B1C2＝B2C1)(A1A2＝B1B2＝C1C2)方法二：若直线l1和l2存在斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则(1)直线l1∥l2的充要条件是.(2)直线l1⊥l2的充要条件是.若l1和l2的斜率都不存在，则l1与l2．若l1和l2中有一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为0，则.2．点到直线的距离，两条平行线的距离(1)设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则P到l的距离：d＝；(2)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离：d＝.(l1和l2的方程必须满足一次项对应系数)．|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2相同3．中心对称(1)设平面上的点M(a，b)、P(x，y)、P′(x′，y′)，若满足：x＋x′2＝a，y＋y′2＝b，那么，我们称P、P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则：x′＝2x0－xy′＝2y0－y2/55．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为.【解析】由题设|3m＋5|m2＋1＝|－m＋7|m2＋1，即|3m＋5|＝|m－7|，求得m＝12或m＝－6.4．轴对称(1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0，和两点P(x，y)、P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①；②，则点P、P′关于直线l对称．(2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时的对称问题可直接通过代换法得解：①关于x轴对称(以代)；②关于y轴对称(以代)；③关于y＝x对称(互换)；PP′⊥直线lPP′的中点在直线l上－yy－xxx、y④关于x＋y＝0对称(以代，以代)；⑤关于x＝a对称(以代)；⑥关于y＝b对称(以代)．(3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则－xy－yx2a－xx2b－yy一、对称问题例1已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．【解析】(1)设A′(x0，y0)和A(－1，－2)关于直线l对称．则y0＋2x0＋1·23＝－12·x0－12－3y0－22＋1＝0，解得x0＝－3313y0＝413，即A′的坐标为(－3313，413)．(2)由2x－3y＋1＝03x－2y－6＝0解得x＝4y＝3，即直线l与m的交点B(4,3)在直线m′上．又在直线m：3x－2y－6＝0上取一点P(2,0)，设P(...