2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，()gx在(,)ab上不变号，并且()gx在闭区间[,]ab上是可积的，则在[,]ab上至少存在一点，使得()()()(),()bbaafxgxdxfgxdxab成立。证明如下：由于()gx在闭区间[,]ab上不变号，我们不妨假设()0gx，并且记()fx在闭区间[,]ab上的最大值和最小值为M和m，即()mfxM，我们将不等式两边同乘以()gx可以推出，此时对于任意的[,]xab都会有()()()()mgxfxgxMgx成立。对上式在闭区间[,]ab上进行积分，可以得到()()()()bbbaaamgxdxfxgxdxMgxdx。此时在,mM之间必存在数值，使得mM，即有()()()bbaafxgxdxgxdx成立。由于()fx在区间[,]ab上是连续的，则在[,]ab上必定存在一点，使()f成立。此时即可得到()()()()bbaafxgxdxfgxdx，命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()fx是闭区间[,]ab上为可积函数，()gx在[,]ab上可积且不变号，那么在开区间(,)ab上至少存在一点，使得()()()(),(,)bbaafxgxdxfgxdxab成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1：由于函数()fx在闭区间[,]ab上是可积的，()gx在[,]ab上可积且不变号，令()()()xaFxftgtdt，()()xaGxgtdt，很显然(),()FxGx在[,]ab上连续。并且()0,()()()baFaFbftgtdt，()0,()()baGaGbgtdt，()()()Ffg，()()Gg。由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()FbFaFabGbGaG，化简，即()()()()()()babaftgtdtfgggtdt，根据上式我们很容易得出()()()(),(,)bbaaftgtdtfgtdtab，命题得证。证法2：由于函数()gx在[,]ab上可积且不变号，我们不妨假设()0gx。而函数()fx在闭区间[,]ab上可积，我们令inf()|[,]mfxxab，sup()|[,]Mfxxab。假设()Fx是()fx在闭区间[,]ab上的一个原函数，即()(),[,]Fxfxxab。我们就可以得到下面等式()()()()bbbaaamgxdxfxgxdxMgxdx（2.2.1）此时由于()0gx，则会有()0bagxdx，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：(1).如果()0bagxdx，由等式（2.2.1）可得出()()0bafxgxdx，那么对于(,)ab都有()()0()()bbaafxgxdxfgxdx恒成立。(2).如果()0bagxdx，将（2.2.1）除以()bagxdx可得()()()babafxgxdxmMgxdx，（2.2.2）我们记()()()babafxgxdxgxdx，（2.2.3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：（Ⅰ）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有()()()babafxgxdxmMgxdx成立，则此时一定就存在mM，可以使得12(),()mfxfxM，我们不妨假设12xx，这其中12,[,]xxab。因为()()Fxfx，[,]xab，则会有1122()()()()FxfxfxFx。此时至少存在一点12(,)xx，使得()()Ff，即有12()()()(),(,)[,]bbaafxgxdxfgxdxxxab成立，从而结论成立。（Ⅱ）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M，因为()0bagxdx，此时一定存在区间11[,](,)abab（其中11ab），使得11[,]xab，恒有()0gx成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化()()()bbaagxdxfxgxdx，因为M，则有[()]()0baMfxgxdx（2.2.4）而且我们已知[()]()0Mfxgx，则110[()]()[()]0xbyaMfxgxdxMfxdx。于是11[()]()0xyMfxgxdx（2.2.5）在式子（2.2.5）下必定存在11[,](,)abab，使得()fM。如果不存在一个11[,](,)abab，使得()fM，则在闭区间11[,]xy上必定有()0Mfx及()0gx成立，从而使得[()]()0Mfxgx。如果11[()]()0baMfxgxdx，由达布定理在11[,]ab上有[()]()0Mfxgx，这与[()]()0Mfxgx矛盾。如果11[()]()0baMfxgxdx，这与（2.2.5）式矛盾。所以存在[,]ab，使()()()(),(,)bbaafxgxdxfgxdxab，定理证毕。
