变化率与导数VIP免费

1.1.1-1.1.2变化率与导数2()4.96.510httt问题高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是00.5求秒的平均速度0.504.050.50hhv2121hththvttt探究活动跳水运动员的平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率2121hthttt2121()()fxfxyxxx12fxxx从【函数的平均变化率】定义中的x1，x2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当Δx≠0时，f(x2)－f(x1)x2－x1＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，直线AB的斜率x1x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)△x=x2-x1△y=f(x2)-f(x1)x【平均变化率的几何意义】20021121,2122+fxxxxxyxx【例】求在区间上的平均变化率;求函数在区间，上的平均变化率。【点拨】求函数f(x)的平均变化率的步骤是：(1)根据x1和x2值写出自变量的增量Δx；(2)由Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量；(3)求出比值ΔyΔx就是函数f(x)由x1变化到x2时的平均变化率．它的几何意义是过图象上两点P1(x1，f(x1))、P2(x2，f(x2))的直线斜率．问题：1运动员在0~0.5秒这段时间平均速度是多少？2、你认为用平均速度描述运动员状态有什么问题吗？3、你能求出t=2时的速度吗？能否从平均速度这个角度出发去求瞬时速度(2)(2)hhthvtt2()4.96.510httt000(2)(2)limliml(4.913.1)1im3.1ttthhthttt(2)(2)0,13.14.913.1hhthtvttt当时一个稳定值结论：(2)v用右式表示体现了什么数学思想？ht0limtht00limlim(2)(2)(2)(2)tththvththhthtt平均速度从瞬时速度过渡到问题：函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率怎样表示？二、导数的概念00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxyxxoxxy0()fx我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作.)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx)(0xf或,即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf的具体取值无关。与xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.3)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()fxxfxyxx（2）求平均变化率:；00()limxyfxx．（3）取极限，得导数:即：一差、二化、三极限(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；例1、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为xh2()715(08).fxxxx计算第2h原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。(2)(2):3yfxfxxx解0'0limlim(3)32xxxxfy'2=2,=2ftt为原油温度在时的瞬时变化率反映了原油温度在时附近的变化情况.2353yxxx【例】求函数在处的导数.【点评】根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；0(1)(1)lim3xfxfx【变式训练】1.函数的平均变化率的理解定义中的x1，x2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当Δx≠0时，f(x2)－f(x1)x2－x1＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：•(1)函数f(x)在x1，x2处有定义；•(2)x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；•(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；•(4)平均变化率可正可负，也可为零．•2．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤•(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；*3．对导数概念的理解•某点导数即为函数在这点的瞬时变...