实际问题与一元二次方程(1)VIP专享VIP免费

21.3实际问题与一元二次方程列一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解决实际问题的基本步骤是：(1)______________，读懂题目，明确已知量和未知量，以及它们之间的数量关系．审题设未知数(2)______________，用字母表示题目中的一个未知数．(3)______________，根据题目中的等量关系列出一元二次方程．列方程(4)______________，求出未知数的值．解方程(5)______________，即检验所求的解是否符合题意，如线段的长度不能为负数，下降率不能大于100%等等．(6)______________．作答检验知识点1列一元二次方程解决实际问题(重点)【例1】一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个QQ群里有多少个好友．思路点拨：每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x－1条消息，则发消息共有x(x－1)条．解：设有x个好友，依题意，得x(x－1)＝870，整理，得x2－x－870＝0，即(x－30)(x＋29)＝0.解得x1＝30，x2＝－29(舍去)．答：QQ群里共有30个好友．2．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的共有多少个人．解：设参加这次聚会有x人，∴x2－x－90＝0.∴x＝10或x＝－9(舍去)．答：参加这次聚会的人有10人．依题意，得12x(x－1)＝45.2．与面积有关的实际问题根据__________________的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．面积与面积之间3．与增长率有关的实际问题增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为________________；两次增长后的值为______________；依次类推，n次增长后的值为__________．若A为n次增长(或下降)后的数量，则A＝____________(或A＝__________)．a(1＋x)a(1＋x)2a(1－x)na(1＋x)na(1＋x)n【跟踪训练】1．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4轮感染后，被感染的电脑会不会超过7000台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染9台电脑，4轮感染后，被感染的电脑会超过7000台．知识点2一元二次方程应用问题中的常见题型1．面积问题．【例2】某小区计划在一个长40米，宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如图22-3-1，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求小路的宽度．图21-3-1思路点拨：列方程解应用题应注意：①列等量关系式时方程两边表示的是同类项，单位要统一；②解方程后要检验未知数的值是否为方程的解，是否符合实际．解：将小路面积和草坪面积用未知数表示，根据总面积可得等量关系，列出方程．设小路的宽为x米，由题意，得2×26x＋40x－2x2＋6×144＝40×26.整理，得x2－46x＋88＝0.x1＝2，x2＝44(不合题意，舍去)．答：小路的宽为2米．2．平均增长(降低)率问题．【例3】(2012年广东)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？思路点拨：认真审题，弄清基数，注意增长了、增长到等词语的关系．如果设平均每次增长率或下降率为x，则产值a经过两次增长(或下降)到b，可列式为a(1＋x)2＝b[或a(1－x)2＝b]．解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，依题意，得5000(1＋x)2＝7200.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.(2) 7200×(1＋20%)＝8640，∴预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．4．与利润有关的实际问题商品利润问题...