【优化指导】高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)-9.2-等差数列第2课时-湘教版必修4VIP免费

第2课时等差数列的性质及其应用学习目标重点难点1．理解并记住等差数列的性质，能运用性质解决计算问题；2．能够综合运用等差数列的通项公式和有关性质解决等差数列中的有关问题；3．能够运用等差数列知识解决实际问题.重点：等差数列的性质及其应用，等差数列中的计算问题；难点：等差数列性质的灵活运用；疑点：等差数列的实际应用.预习交流1若数列{an}是公差为d的等差数列，那么数列{a2n}，{a2n－1}是否还是等差数列？预习交流2在等差数列{an}中，项的序号成等差数列的项是否也构成等差数列？预习交流3若{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，那么数列{pan±qbn}仍然是等差数列吗？预习交流4在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am＋an与ap＋aq有何关系？特别地，若m＋n＝2t，那么am＋an与at有何关系？预习交流5在等差数列{an}中，若m＝p＋q，那么am＝ap＋aq成立吗？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习交流1：提示：数列{a2n}，{a2n－1}还是等差数列，且公差都是2d，这是因为a2n＋2－a2n＝[a1＋(2n＋1)d]－[a1＋(2n－1)d]＝2d，同理a2n＋1－a2n－1＝2d.预习交流2：提示：构成等差数列，即若n1，n2，n3，…成等差数列，那么an1，an2，an3，…也成等差数列．预习交流3：提示：是，且公差为pd1±qd2.预习交流4：提示：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2t，则有am＋an＝2at.证明：左边＝2a1＋(m＋n－2)d，右边＝2a1＋(p＋q－2)d. m＋n＝p＋q，∴左边＝右边．即am＋an＝ap＋aq.当m＋n＝2t时，有am＋an＝at＋at＝2at.预习交流5：提示：am＝a1＋(m－1)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d＝2a1＋(m－2)d，因此只有当a1＝d时，才有am＝ap＋aq，故am＝ap＋aq不一定成立．一、等差数列的性质及其应用(1)已知等差数列{an}中，a5＝10，a15＝25，求a25的值．1(2)已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值．思路分析：(1)一方面，题目中涉及到的三项的下标有关系：5＋25＝2×15，所以a5＋a25＝2a15，从而可求得a25的值；另一方面，题目中涉及到的三项的下标5,15,25构成等差数列，所以a5，a15，a25也构成等差数列，据此可以求得a25的值．(2)已知条件中共有5项相加，且下标满足3＋7＝4＋6＝2×5＝1＋9，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2×a5＝a1＋a9，因此可先求出a5的值，再求出a1＋a9的值．1．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝4，b1＝－3，a24－b24＝7，则a12－b12的值等于()．A．7B．－7C．0D．122．等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝__________.3．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a6＋a11＝3，则a3＋a9＝__________.1．一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简，优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如等差数列{an}中，am＋an＝ap＋aq的条件为m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*.2．运用等差数列性质解题的关键是分析题目中数列各项的项数序号之间的特点，从这些特点入手，选用相应的性质解决问题．二、等差数列中的综合运算问题(1)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝()．A．120B．105C．90D．75(2)设{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝27，a6＋a9＋a12＋a15＝51，则其公差d＝__________.思路分析：(1)由a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，结合等差数列的性质可先求出a2的值，从而得到a1＋a3，a1a3的值，解方程组可得首项和公差，然后再求出a12的值，结合性质可得a11＋a12＋a13的值；(2)已知的两个和式都是4项相加，且对应的每一项在该等差数列中都相差4d，可采用整体相减的办法求出公差．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()．A．－1B．1C．3D．7求解等差数列中的这类综合计算问题，既要充分利用通项公式，又要善于运用等差数列的性质简化运算，还要注意整体思想的灵活运用．三、等差数列在实际中的应用某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开...