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三平面与圆锥面的截线VIP免费

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三平面与圆锥面的截线知识·巧学在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,其夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴l交角为β(π与l平行,记β=0),则:(1)β=2,平面π与圆锥的交线为圆;(2)β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆;(3)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线;(4)β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线.图3-3-2问题·探究问题椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率e,定义上的统一,必然也蕴含着图形统一,应该如何解释这种现象呢?思路:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形上依然存在着统一.探究:我们知道,椭圆时离心率e越大,椭圆越扁;双曲线时离心率e越大,双曲线开口越大.随着e的增大,椭圆越变越扁,但左半部分开口越来越大,左顶点离l越来越近,而右顶点离F点越来越远;当e趋近于1时,左顶点趋近于F与l间的中点,而右顶点趋向无穷远处;当e=1时,我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处,此时曲线变为抛物线;当e>1时,开口越来越大,右顶点超过无穷远处并开始返回,此时曲线变为双曲线两支,或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处,如图3-3-3.图3-3-3于是我们可以猜想:三条圆锥曲线都为封闭图形,其形状都为椭圆,所以,圆锥曲线在图形上依然存在着统一,这是一种无限的思想.因为顶点(曲线与两个坐标轴的交点)如A1是圆锥曲线上的点,所以满足||||11NAFA=e,当e→1时,A1向中点靠近;当e=1时,A1位于中点;当e→+∞时,A1向N靠近.这里A1只是FN的内1分点,其实满足||||ANAF=e还有一个外分点,即另一顶点A2,满足NAFA22=-e.当e<1时,圆锥曲线为椭圆,所以它的外分点A2位于NF的延长线上;当e→1时,A2离F点越远;当e=1时,外分点不存在,或者我们就可以理解为A2位于无穷远处,所以抛物线只有一个顶点;当e>1时,圆锥曲线为双曲线,外分点A2位于NF的反向延长线上;e→+∞时,A2从左侧向N靠近.这也揭示了为什么椭圆有两个顶点,抛物线只有一个顶点,双曲线有两个顶点,及它们之间的区别,你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性.典题·热题例利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面的下方,并且与平面π及圆锥均相切),证明β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆.图3-3-4思路分析:点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1.证法一:利用椭圆第一定义,证明FA+AE=BA+AC=定值,详见课本.证法二:①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行,记这个圆所在平面为π′;②如果平面π与平面π′的交线为m,在图中椭圆上任取一点A,该Dandelin球与平面π的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是coscos(小于1).(称点F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数coscos为离心率e)深化升华利用②可以证明截线为抛物线、双曲线的情况,以离心率的范围为准.2

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