第一章导数及其应用(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导正确的是A.′＝B．(xe－x2)′＝e－x2·(1＋2x2)C．(6cosx)′＝6sinxD．(＋lnx)′＝解析按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答案为D.答案D2．曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于A．2eB．eC．2D．1解析y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.答案C3．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于A.B.C.D．1解析f′(x)＝3ax2＋，∴f′(1)＝3a＋1＝4，∴a＝1.答案D4．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数解析由得－1
0，故f(x)在(0，1)上为增函数．故选A.1答案A5．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为A．0B．2C．1D．－1解析f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.答案A6．函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为A．－12D．a<－3或a>6解析f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根．由Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4(a2－3a－18)>0，解得a<－3或a>6.答案D7．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.答案B8．若f(x)＝，则f(x)dx＝A．0B．1C．2D．3解析f(x)dx＝(x3＋sinx)dx＋2dx＝0＋(2x)＝4－2＝2.答案C9．已知函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a、b、c的大小关系为A．a0，即x<1时，f(x)单调递增．2a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)＝f(－1)， －1<0<，∴c1.答案A11．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析利用f′(x)＝3ax2－6x结合题意，可利用特殊值法求解．f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A、C.图(2)3当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．不符合题意，排除D.答案B12．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案D二、填空题(本大题共4...
