课时限时检测(六)函数的奇偶性与周期性(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1【答案】C2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(－a)＝2，则f(a)的值为()A．3B．0C．－1D．－2【答案】B3．函数y＝log2的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【答案】A4．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.5【答案】B5．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝lgx，设a＝f，b＝f，c＝f，则()A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a【答案】A6．(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·大纲全国卷)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.【答案】－18．已知函数f(x)＝在其定义域上为奇函数，则a＝________.【答案】±19.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，则f(2013)＋f(2014)＝________.【答案】－1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0,2)时，f(x)＝.(1)求f(x)在[－2,2]上的解析式；(2)若|f(x)|≥λ对∀x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【解】(1)当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，∴f(－x)＝＝－，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝.当x＝0时，由f(－0)＝－f(0)可知，f(0)＝0.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)．即－f(2)＝f(2)，∴f(2)＝0，f(－2)＝0.综上，f(x)＝(2)|f(x)|≥λ等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[－2,2]时的|f(x)|min.由(1)可知，x∈[－2,2]时，|f(x)|min＝0，此时x＝0或x＝±2.∴λ≤0.11．(12分)已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【解】(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知－1＜a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．12．(13分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞]上的单调性．【解】(1)当a＝0时，f(x)＝x2，由f(－x)＝f(x)可知，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)．∵f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－1，∴f(a)≠f(－a)，又a≠0，∴f(a)≠－f(a)∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述：a＝0时，f(x)为偶函数；a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)由f(1)＝2可知1＋a＝2，即a＝1，所以f(x)＝x2＋.由f′(x)＝2x－可知，当x≥2时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．
