课时跟踪检测(四十九)空间向量的应用(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角DAEC为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥EACD的体积．2．(2015·贵州模拟)如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2.(1)若点E为AB的中点，求证：BD1∥平面A1DE；(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．3．(2015·浙江名校联考)如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V＝××××＝.2．解：(1)证明：四边形ADD1A1为正方形，连接AD1，A1D∩AD1＝F，则F是AD1的中点，又因为点E为AB的中点，连接EF，则EF为△ABD1的中位线，所以EF∥BD1.又因为BD1⊄平面A1DE，EF⊂平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.(2)根据题意得DD1⊥DA，D1D⊥DC，AD⊥DC，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0，2,0)．设满足条件的点E存在，令E(1，y0,0)(0≤y0≤2)，＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，则得令y1＝1，则平面D1EC的法向量为n1＝(2－y0,1,2)，由题知平面DEC的一个法向量n2＝(0,0,1)．由二面角D1ECD的大小为得cos＝＝＝，解得y0＝2－∈[0,2]，所以当AE＝2－时，二面角D1ECD的大小为.3．解：(1)以B为原点，BA，BE，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz(如图所示)，则N，M.∴MN＝＝，∴当a＝时，MN的长度最小．(2)当a＝时，M，N，又A(1,0,0)，∴＝，＝.设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝1，得y＝1，z＝1，∴平面AMN的法向量n＝(1,1,1)． ＝(－1,0,0)，∴AB与平面AMN所成角α的正弦值为sinα＝＝.B卷：增分提能1．解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连结OC，易得OC⊥AD，所以以O为坐标原点，直线OC为x轴，直线OD为y轴，直线OP为z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，∴＝(1，－1，－1)，易证OA⊥平面POC，∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，cos〈，〉＝＝.∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，设平面PDC的一个法向量为u＝(x，y，z)，则取z＝1，得u＝(1,1,1)．∴B点到平面PCD的距离d＝＝.(3)存在．设＝λ(0<λ<1)， ＝(0,1，－1)，∴＝(0，λ，－λ)＝...
