学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－11”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】C3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qp，故p是q的充分不必要条件．【答案】A4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当a＝1时，N＝{1}，显然满足N⊆M，所以充分性成立；因为N⊆M，所以a2＝1或a2＝2，即a＝±1或a＝±，故必要性不成立，所以选A.【答案】A5．已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：＜＜0，则甲是乙的()1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝2，b＝1时，ab＞b2，但＜＜0不成立；当＜＜0时，ab2＜0，则×ab2＞×ab2，即ab＞b2成立，所以选B.【答案】B二、填空题6．若p：x2－1＞0，q：(x＋1)(x－2)＞0，则綈p是綈q的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】綈p：x2－1≤0，∴－1≤x≤1，綈q：(x＋1)(x－2)≤0，－1≤x≤2，∴－1≤x≤1⇒－1≤x≤2而－1≤x≤1－1≤x≤2，∴綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________．【解析】对a分a＝0和a≠0两种情况讨论．【答案】或8．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________．①p是q的充分条件；②p是q的必要条件；③q是p的充分条件；④q是p的必要条件．【解析】由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．【答案】①④三、解答题9．命题p：x＞0，y＜0，命题q：x＞y，＞，则p是q的什么条件？【导学号：32550007】【解】p：x＞0，y＜0，则q：x＞y，＞成立；反之，由x＞y，＞⇒＞0，因y－x＜0，得xy＜0，即x，y异号，又x＞y，得x＞0，y＜0.所以“x＞0，y＜0”是“x＞y，＞”的充要条件．10．已知a，b，c均为实数，求证ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】①充分性．若ac＜0，则Δ＝b2－4ac＞0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，设其两根为x1，x2，因为ac＜0，所以x1·x2＝＜0，即x1，x2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1·x2＝＜0，所以ac＜0.2由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1．“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．【答案】C2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也...
