第2讲不等式选讲1．(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，等价于或或，解得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f()≥4.2．(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．解：(1)由题意知f(x)＝，由f(x)≥3可知：①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；②当－2.易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于C(，)，D(－，)两点，则|CD|＝·|＋|＝a，平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，所以梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，所以a＝4，故所求实数a的值为4.3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|.(1)求证：f(x)≥2；(2)若不等式f(2)≤16恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)证明：因为f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|≥|(x＋m2)－(x－2m－3)|，所以f(x)≥|m2＋2m＋3|＝(m＋1)2＋2≥2.(2)由已知，得f(2)＝m2＋2＋|2m＋1|，①当m≥－时，f(2)≤16等价于m2＋2m＋3≤16，即(m＋1)2≤14，解得－－1≤m≤－1，所以－≤m≤－1；1②当m<－时，f(2)≤16等价于m2－2m＋1≤16，解得－3≤m≤5，所以－3≤m<－.综上，实数m的取值范围是[－3，－1]．4．(2019·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}．(1)求实数a的值；(2)求＋的最大值．解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x|x≥－1}，当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a2＝0，即a＝±1时，x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，a＝1符合题意．综上，a＝1.(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，当t＝＝4时，(＋)2有最大值32.又＋≥0，所以＋的最大值为4.5．(2019·石家庄市模拟(一))设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求＋的最小值．解：(1)不等式可化为或或，解得x≥－，所以f(x)≤1的解集为{x|x≥－}．(2)法一：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，所以m＝4，p＋2q＝4，所以(p＋2)＋2q＝6，＋＝(＋)(p＋2＋2q)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝，当且仅当p＋2＝2q＝3，即时取“＝”，所以＋的最小值为.法二：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，所以m＝4，p＋2q＝4，所以p＝4－2q，q∈(0，2)，＋＝＋＝＝＝，因为q∈(0，2)，所以当q＝时，＋取得最小值.6．(2019·成都第一次诊断性检测)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|＋1|.(1)求不等式f(x)－3<0的解集；(2)若关于x的方程f(x)－m2－2m－＝0无实数解，求实数m的取值范围．解：(1)由题意，知f(x)＝|2x－1|＋|＋1|＝由f(x)－3<0，可得或或，解得－4；(2)对于任意正数m，n，求使得不等式f(x)≤＋＋2nm恒成立的x的取值集合M.解：(1)当x≤0时，不等式化为－2x＋1－x>4，所以x<－1；2当04，解得x>3，无解；当x≥1时，不等式化为2x＋x－1>4，所以x>，综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．(2)因为＋＋2mn≥＋2mn≥4，当且仅当m＝n＝1时“＝”成立，所以2|x|＋|x－1|≤4，由(1)知x的取值集合M为[－1，]．8．(2019·沈阳市质量监测(一))设a>b>0，且...
