课时作业(二十二)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．设tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值是()A.B．C.D．答案：C解析：tan＝tan＝＝＝.故应选C.2．设sin＝，则sin2θ＝()A．－B．－C.D．答案：A解析：sin2θ＝－cos＝－cos2＝－＝－＝－.故应选A.3．设f(sinα·cosα)＝sin2α，则f的值为()A．－B．－C．D．答案：D解析：令sinα·cosα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝，∴f＝.故应选D.4．(2013·重庆)4cos50°－tan40°＝()A.B．C．D．2－1答案：C解析：4cos50°－tan40°＝4cos50°－＝－＝＝＝＝＝＝＝.5．(2015·淄博质检)已知sinθ＋cosθ＝(0＜θ＜π)，则cos2θ的值为()A．±B．－C．D．－答案：B解析：又sinθ＋cosθ＝sin＝⇒sin＝，∵0<θ<π，∴<θ＋<，θ＋＝⇒θ＝⇒2θ＝，所以cos2θ＝cos＝－，故应选B.6．对于集合和常数a0，定义：ω＝为集合相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为()A.B．C.D．与ao有关的一个值答案：A解析：集合相对a0的“正弦方差”ω＝＝＝＝＝＝.故应选A.二、填空题7．(2015·云南昆明一模)若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.答案：解析：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝.②由①②解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，则tanαtanβ＝＝.8．(2015·唐山模拟)已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sinβ＝sin(2α＋β)，则tanβ的最大值是________．答案：解析：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα，∴tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝.由题意知，tanα>0，∴＋2tanα≥2，且仅当＝2tanα，即tanα＝时等号成立，∴tanβ的最大值为＝.9．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα＝________.答案：解析：依题设及三角的函数的定义得：cosβ＝－，sin(α＋β)＝.又∵0＜β＜π，∴＜β＜π，＜α＋β＜π，sinβ＝，cos(α＋β)＝－.∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－×＋×＝.10．若tanθ＝，θ∈，则sin＝________.答案：解析：tanθ＝＝，即cosθ＝2sinθ，而cos2θ＋sin2θ＝1，且cosθ>0，sinθ>0，计算可得cosθ＝，sinθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝1－2sin2θ＝，因此sin＝sin2θcos＋cos2θsin＝.三、解答题11．(2014·广东)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.解：(1)∵f＝Asin＝Asin＝Asin＝A＝，∴A＝.(2)由(1)知f(x)＝sin，故f(θ)＋f(－θ)＝sin＋sin＝，∴＝，∴cosθ＝，∴cosθ＝.又θ∈，∴sinθ＝＝，∴f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.12．如图所示，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为.(1)求的值；(2)若OP⊥OQ，求.解：(1)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝，∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.(2)∵OP⊥OQ，∴α－β＝，∴β＝α－.∴sinβ＝sin＝－cosα＝，cosβ＝cos＝sinα＝.∴＝＝＝＝.13．已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.解：(1)∵f(x)＝sin＋sin＝sin＋sin＝2sin.∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－.∴cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－，两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤，∴β＝.由(1)知f(x)＝2sin，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝4×2－2＝0.
