3.3排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是()A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0.因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)，则P≥Q.答案：B2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4min，8min，6min，10min，5min，每台机床停产1min损失5元，经合理安排损失最少为()A．420元B．400元C．450元D．570元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C4．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为()A．3B．6C．9D．12解析：设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，由乱序和不小于反序和，知＋＋≥＋＋＝3，所以＋＋的最小值为3.答案：A5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，1所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”)解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案．答案：≥7．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是________．解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2＞0，由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.所以P≥Q.答案：P≥Q8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．解析：两组数2件、4件、5件与1元、2元、3元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．根据排序原理可知至少花19元，最多花25元．答案：1925三、解答题9．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的最小值．解：不妨设a3＞a1＞a2＞0，则＜＜，所以a1a2＜a2a3＜a3a1.设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和S′＝＋＋.由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1，所以＋＋的最小值为1.10．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)＋＋≤.证明：(1)不妨设a≥b＞0，则a2≥b2＞0.所以a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，所以a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．所以＋＋≤＋＋＝＝·＝.故原不等式得证．2B级能力提升1．已知实数a≥b≥c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是()A．1B．2C．3D.解析：因为a≥b≥c≥0，知≥≥，由排序不等式，得a＋b＋c≤a＋b＋c.又(a＋b＋c)2≤[(a)2＋(b)2＋(c)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9，所以a＋b＋c≤3.故a＋b＋c≤3.答案：C2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________．解析：不妨设a≥b＞0，则有a2≥b2，且≥.由排序不等式＋≥·a2＋·b2＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝时，等号成立．所以＋的最小值为1.答案：13．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数．求证1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn，因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n，又因为1＞＞＞…＞，所以由排序不等式，得a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·＝1＋＋＋…＋，所以原不等式得证．3
