【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第13课幂函数、函数与方程要点导学要点导学各个击破幂函数的图象与性质(2014·上海卷)若f(x)=23x-12x,则满足f(x)<0的x取值范围是.[答案](0,1)[解析]根据幂函数的性质,由于12<23,所以当01时,23x>12x,因此f(x)的解集为(0,1).(2014·临沂模拟)若幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),则函数f(x)的单调增区间是.[答案][0,+∞)[解析]因为函数过点(2,4),所以4=2α,α=2,故函数解析式为y=x2,单调增区间为[0,+∞).求函数的零点(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,那么函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为.[答案]{-2-7,1,3}[解析]因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,所以f(x)=22x-3x,x0,-x-3x,x0,故g(x)=22x-4x3,x0,-x-4x3,x0.由2x0,x-4x30,解得x=1或3.由2x0,-x-4x30,解得x=-2-7.所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为{-2-7,1,3}.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+2123451[思维引导]根据零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点.[答案]1[解析]设由f(x)=ex-x-2,由表格可知f(1)<0,f(2)>0,所以k的值为1.函数零点的应用若函数y=ax2-x-1只有一个零点,求实数a的取值范围.[思维引导]由分类讨论思想,分a=0和a≠0两种情况,分别对应一次函数、二次函数加以判断.[解答]①若a=0,则f(x)=-x-1,显然函数f(x)=-x-1只有一个零点-1;②若a≠0,则y=ax2-x-1是二次函数,若函数只有一个零点,即方程ax2-x-1=0仅有一个实根,故Δ=1+4a=0,得a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数y=ax2-x-1只有一个零点.(2014·阜宁模拟)设函数y=x3与y=x-212的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m=.[答案]1[解析]令f(x)=x3-x-212,易知函数y=x3在R上单调递增,y=x-212在R上单调递减,所以y=-x-212在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=x-212的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-1-212=-1<0,f(2)=8-2-212=7>0,f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.函数与方程的关系已知关于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(a∈R),请你不用方程的判别式而利用函2数的图象讨论方程的根的情况.[思维引导]方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,据此,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.[解答]原方程可化为-x2+5x-3=a.作出函数f(x)=-x2+5x-3的图象,再作出函数g(x)=a的图象(如图所示).由图象可知:①当a=134时,方程有两个相等的实数根;②当a<134时,方程有两个不相等的实数根;③当a>134时,方程没有实数根.(例5)[精要点评]将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想求解.设函数f(x)=2xbxc,x0,2,x0.若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程y=x的解的个数.[解答]f(-4)f(0),f(-2)-216-4bcc,4-2bc-2b4,c2.所以f(x)=2x4x2,x0,2,x0.这个函数的图象如图所示.(变式)可知直线y=x与f(x)的图象有3个交点,所以关于x的方程y=x的解的个数为3.3已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).设关于x的不等式f(x)>0的解集为(x1,x2),且方程f(x)=x的两实根为α,β.(1)若|α-β|=1,求a,b之间的函数关系式;(2)若α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7.[规范答题](1)由f(x)=x,得ax2+3x+b=0.由已知,得9-4ab>0,α+β=-3a,αβ=ba.所以|α-β|=2(αβ)-4αβ=1,所以29a-4ba=1.所以a2+4ab=9,所以a,b的函数关系式为a2+4ab=9.(6分)(2)令g(x)=ax2+3x+b,又a<0,α<1<β<2,所以g(1)0,g(2)0,即g(1)ab30,g(2)4ab60.又x1,x2是方程ax2+4x+b=0的两个根,所以x1+x2=-4a,x1x2=ba,所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=ba-4a+1=b-4a+1.(10分)由线性约束条件ab30,4ab60,a0,画图可知,b-4a的取值范围为(-4,6)...
