课时限时检测(五十二)曲线与方程(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条直线C．两个点D．4条直线【答案】C2．已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x′，y′)＝(x＋y，xy)的轨迹是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【答案】B3．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为()A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4【答案】B4．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】C5．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1【答案】C6．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则P点的轨迹方程是()A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．设抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E、F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为．【答案】－＝18．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程是．【答案】y2＝8x9．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，则圆心M的轨迹方程为．【答案】＋＝1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)k代表实数，讨论方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲线．【解】当k＜0时，曲线－＝1为焦点在y轴的双曲线；当k＝0时，曲线为两条平行于x轴的直线y＝2或y＝－2；当0＜k＜2时，曲线为焦点在x轴的椭圆；当k＝2时，曲线为一个圆；当k＞2时，曲线为焦点在y轴的椭圆．11．(12分)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程．【解】由题设知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝(x＋)，①直线A2Q的方程为y＝(x－)．②联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③则x≠0，|x|＜.而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠0且x≠±)．12．(13分)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP·RQ的最小值．【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2＝4y.(2)由题意知，直线l2方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.又易得点R的坐标为，∴RP·RQ＝·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴RP·RQ≥4×2＋8＝16，即RP·RQ的最小值为16.
