高中数学 2.3.1《等比数列》例题解析 新人教B版必修5VIP免费

等比数列·例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．[]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1故－，因此数列成等比数列≠－≠a=(p1)p{a}p0p10(p1)p2nn1()()pppppn212但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n*n2Naann1【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解 1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q∴2＝1·q2n+1x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n=q2n(1+2n)2qnnn()212【例3】{a}(1)a=4an25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解(1)a=aqq=5252∴－12∴＝＝－＝ ·＝··＝aaq4()()(2)aaaaaaa=8n2n2n2n43542345431212∴a4＝2用心爱心专心1又＝＝∴aaaaaaaaaa=a=322635423456452【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求证…＜．xxxabnn122证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1∴∴……＜qbaxxxaqaqaqaqababnnnnnn1122122【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一 a、b、c、d成等比数列∴abbccd∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．证法二 a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：b＝aq，c＝aq2，d=aq3∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：转化为等比数列．解(1)a=3a2a1=3(a1)n+1nn+1n＋＋＋∴{an＋1}是等比数列用心爱心专心2∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1n－＋－－∴{an+1－an}是等比数列，即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到a=3[1222]=3=3(21)n2n-2n1＋＋＋…＋·－21211n说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．【例7】aaaa(aa)a2a(aa)aaa=0aaaa1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(aa)x2a(aa)xaa=0(aa)a2a(aa)aaa=0a122222132232122242213422324∴上述方程的判别式Δ≥0，即[2a(aa)]4(aa)(aa)=4(aaa)0(aaa)02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤又 a1、a2、a3为实数∴－≥必有－即(aaa)0aaa=0a=aa2213222132213因而a1、a2、a3成等比数列又 a=2a42()()()aaaaaaaaaaaa1312222131213212∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．解设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有b=(bd1)(bd)b=(bd)(bd2)22－＋＋①－＋＋②整理，得用心爱心专心3b=bdbdb=bd2b2d222222－＋＋－＋－∴b＋d=2b－2d即b=3d代入①，得9d2=(3d－d＋1...