课时作业46空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．若直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或直线在平面内解析：注意不要遗漏直线在平面内的情况．答案：D2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线解析：不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.答案：C3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.答案：D4．如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()A.B．－C.D．－解析：延长CD至点H，使DH＝1，连接HG，HF，则HF∥AD，且HF＝DA＝2，又 GF＝，HG＝，∴cos∠HFG＝＝.答案：A5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．答案：D6．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.答案：C二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．答案：0或18．(2016·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①9．(2016·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝a，所以AB1＝a，B1D1＝a，AD1＝＝a.所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，cos∠AB1D1＝＝＝，所以∠AB1D1＝60°.答案：60°三、解答题10．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．11．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，∠PBO＝60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．解：(1)在Rt△POB中，∠PBO＝60°，因为BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，所以PO＝BO·tan60°＝，易得底面菱形的面积为2，所以四棱锥P－ABCD的体积为×2×＝2.(2)取AB的中点F，连接EF，DF.因为E是PB的中点，所以EF∥PA，所以∠DEF为异面直线DE与PA所成的角．在Rt△AOB中，AO＝ABcos30°＝＝PO，所以在Rt△POA中，PA＝，所...
