存在性与恒成立问题1.已知函数f(x)=,若存在x0,使得f(x0)
0时，在第一象限，直线必须在f(x)图像切线的上方。不妨设切点为（x0,(x0-1)3+1）,f’(x)=3(x-1)2,故a=3(x0-1)2,切线方程为：y-[(x0-1)3+1]=3(x0-1)2(x-x0)由切线过原点（0，0），得x0=,代入得a=,综上可得实数a的取值范围是（－∞，0）⋃（,+∞）。2.若关于x的不等式20xxeaxa的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（B）（A）221[,)53ee（B）1[,)34eee（C）1[,]3ee（D）[,]4eee解析：原不等式可化为xex-1时，f(x)为增函数.注意到x<0时f(x)<0,f(0)=0,函数g(x)的图像是经过（，0）的直线。作图如下：由图可知直线的斜率必须小于切线的斜率，且f(-1)≥g(-1),即－≥-3a,得a≥,由此可判断选B。求上限计算方法同题1.3.已知函数f(x)=3mx--(3+m)lnx，若对任意的m(4,5),x∈1,x2[1,3],∈恒有（a-ln3）m-3ln3>|f(x1)-f(x2)|成立，则实数a的取值范围是[,+∞）。解析：由f(x)=3mx--(3+m)lnx,且m(4,5)∈得：x(1,3)∈时f′(x)=3m+-=>0，则f(x)在[1，3]上单调递增，则任意1,x2[1,3],∈恒有（a-ln3）m-3ln3>|f(x1)-f(x2)|成立，即为（a-ln3）m-3ln3>|f(x1)-f(x2)|max=f(3)-f(1)=6m+-(3+m)ln3，则(a-6)m->0对任给m(4,5)∈成立。即,解得a≥,故实数a的取值范围是[,+∞）。O11xyO1－1xy
