有关角平分线例题解法VIP免费

有关角平分线例题解法沿河第四中学刘滋对于角平分线是初中几何中的一个重要内容，其性质主要有：1.把一个角分成两个相等的角；2.角平分线上的点到角两边的距离相等，逆命题也成立；3.在等腰三角形中，顶角的角平分线是底边上的高，也是底边上的中线。一般涉及到角平分线的问题，解题时常常需要作适当的辅助线，构成等腰三角形，然后运用其有关性质来解决。下面我就相关问题举例分析供参考。一.角平分线和平行线的组合例1.如图.已知△ABC中.AD是∠A的角平分线，M是BC的中点，MF∥DA,交AB和CA的延长线于E、F.求证：BE=CF=.分析：由于MF是角平分线AD的平行线，所以∠EAD=∠CAD,又∠AEF=∠EAD,∠F=∠CAD,可得∠AEF=∠F,所以得到等腰三角形AEF.由于M为中点，故过M作MG∥CA交AB于G点.MG为△ABC的中位线，可得BG=AG=AB,GM=AC.又∠GEM=∠FEA=∠F,而∠F=∠GME,从而∠GEM=∠GME.故△GME是等腰三角形，GM=GE,于是BE=BG+GE=AB+GM=AB+AC.CF=AC+AF=AC+AE=AC+(AG-EG)=AC+AB-AC=AB+AC.即证.二.角平分线和角平分线的垂线的组合例2.如图.已知△ABC中.BD、CE是角平分线，AF⊥CE,AG⊥BD,垂足分别为F、G.求证：（1）FG∥BC(2)FG=(AB+AC-BC)分析：（1）因为BG是∠B的平分线，且BG⊥AG,则延长AG交BC于H,得∠BAH=∠BHA,BA=BH和AG=HG.同理延长AF交BC于K.可得AC=KC.AF=KF.又FG为△AKH的中位线，故FG∥KH.且FG=KH.即FG∥BC.(2)要证AB+AC-BC=KH.由于AB+AC-BC=BH+CK-BC=BH+(KH+CH)-BC=(BH+CH)+KH-BC=KH.即证.三.以角平分线为对称轴，构造全等三角形例3.如图.在四边形ABCD中，已知BC=DC,对角线AC平分∠BAD.求证：∠D+∠B=180°.分析：本题要证两角和是180°，也就是说把两角拼在一起，它们应该是平角，而图中此两角是对角，且AC是角平分线，故可将△ADC沿AC翻折，点D落在AB上，记为E点，从而可得△ADC≌△AEC,∠D=∠AEC.CD=CE,又CD=BC,所以CE=CB,从而△CEB是等腰三角形，∠CEB=∠B.∠CEB+∠AEC=180°,即∠D+∠B=180°四.由角平分线上的一点向角的两边或一边作垂线例4.如图.在平行四边形ABCD中，AE和CF交于G点，且AE=CF,求证：BG平分∠AGC.分析：本题直接证明∠AGB=∠CGB很难入手，但根据角平分线的性质，可证点B到角两边的距离相等，故作BN⊥AE,BM⊥CF,垂足分别为N、M,只要证BN=BM即可.连接BE、BF.由于BM、BN分别是△BCF、△ABE的高，而AE=CF,即两个三角形等底，现在要证高相等，故只需证面积相等.由于△ABE的面积和△BCF的面积都等于平行四边形的面积的一半，所以S△ABE=S△BFC.即AE·BN=CF·BMBM=BN即证.