高中数学 第2章 推理与证明 2-2-1 综合法练习 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP免费

2-2-1综合法基础要求1．如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列，那么这个等比数列的公比等于()A．1B．2C．3D．4解析：综合法推知d＝－2a1，于是q＝3.答案：C2．函数f(x)＝ln(ex＋1)－()A．是偶函数，但不是奇函数B．是奇函数，但不是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数解析：(综合法)以－x代x，f(x)不变选A.答案：A3．函数y＝f(x)图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则当x>1时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝(x＋3)2－1B．f(x)＝(x－3)2－1C．f(x)＝(x－3)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1解析：设x>1，P(x，y)为f(x)图象上任一点，则P关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝(x＋1)2－1上，故y＝(2－x＋1)2－1＝(x－3)2－1.答案：B4．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：y＝f(x＋2)是偶函数．则f(x＋2)＝f(－x＋2)，则x＝2是f(x)的对称轴．又f(x)在(0,2)上是增函数，∴f(1)0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，如图1所示，证明直线AC经过原点O.证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，所以点C的坐标为(－，y2)．故直线CO的斜率为k＝＝＝.即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.2．求证：－2cos(α＋β)＝.证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.3．△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列，求证：B<90°.证明：由题意知＝＋，∴b(a＋c)＝2ac.∵cosB＝≥＝1－＝1－＝1－，又△ABC三边长a、b、c满足a＋c>b，∴<1.∴1－>0.∴cosB>0，即B<90°.4．已知sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：cos4β－4cos4α＝3.证明：由已知sinθ＋cosθ＝2sinα，①2sinθ·cosθ＝sin2β，②①2－2×②得4sin2α－2sin2β＝1.③又sin2α＝，sin2β＝，代入③得，2cos2α＝cos2β，∴4cos22α＝cos22β.∴4·＝.∴cos4β－4cos4α＝3.拓展要求设△ABC的三条高分别为ha、hb、hc，r为内切圆半径，且ha＋hb＋hc＝9r，试证该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a、b、c，三角形面积为S，由三角形面积公式得ha＝，hb＝，hc＝.则有ha＋hb＋hc＝2S.又S＝(a＋b＋c)·r，ha＋hb＋hc＝9r.∴(a＋b＋c)＝9.∴a2b＋a2c＋b2a＋b2c＋c2a＋c2b－6abc＝0.因式分解有a(b－c)2＋b(c－a)2＋c(a－b)2＝0.∵a>0，b>0，c>0，∴(b－c)2＝(c－a)2＝(a－b)2＝0.即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形．3