专题层级快练(三十三)1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为()A．1B.C.D．2答案B解析 a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．∴|a－b|＝＝.∴|a－b|最大值为.故选B.2．(2019·潍坊二模)设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|答案A解析f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝－x2a·b＋(a2－b2)x＋a·b，故a·b＝0，即a⊥b，故应选A.3．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则AC·CB等于()A．－B.C．0D.答案A解析由于弦长|AB|＝与半径相同，则∠ACB＝60°⇒AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠ACB＝－··cos60°＝－.4．(2019·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案B解析OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|⇒|AB＋AC|2＝|AB－AC|2⇒AB·AC＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.5．(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D.a2答案D解析在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.6．(2019·银川调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是()A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案C解析由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB－AD)·AC＝0得DB·AC＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.7．如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2B.C.D.答案D解析AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝AB·AD＋BC·AD＝BC·AD＝BD·AD＝|BD||AD|cos∠BDA＝|AD|2＝.8．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案D解析因为a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0⇒b⊥(a－c)．又a＋b＋c＝0⇒b＝－(a＋c)，∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0⇒a2＝c2，得|a|＝|c|.同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|.故△ABC为等边三角形．9．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.答案B解析如图以直线AC为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(1，)，∴AF＝(1，)，BC＝(，－)．∴AF·BC＝－＝，选B.10．(2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A．1B.C.D.答案D解析方法1： 向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2， 向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.方法2： 向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1，0)，b＝(－，)，则a＋b＝(，)， 向量c与a＋b共线，∴可设c＝(t，t)(t∈R)，∴a＋c＝(1＋，t)，∴|a＋c|＝＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.11．(2019·郑州质检)在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量OP在向量OA上的投影为－，则点P的轨迹方程是()A．x－2y＋5＝0B．x＋2y－5＝0C．x＋2y＋5＝0D．x－2y－5＝0答案C解析由投影的定义知－＝＝，化简得x＋2y＋5＝0，所以点P的轨迹方程为x＋2y＋5＝0，故选C.12．(2015·山东，文)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________．答案解析在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA|＝|PB|＝，∠APO＝∠BPO＝，则PA，PB的夹角为，所以PA·PB＝|PA|·|PB|·cos＝.13．在平行四边形ABCD中...
