2017高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列及其前n项和习题A组基础巩固一、选择题1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()A.B.C.D．2[答案]B[解析]因为a3·a9＝2a，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a＝2a，所以＝2，即()2＝q2＝2.因为公比为正数，故q＝.又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B.5C．－5D．－7[答案]D[解析]设数列{an}的公比为q，由得或所以或所以或所以a1＋a10＝－7.3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝，S3＝，则公比q＝()A.B.－C．1或－D．1或[答案]C[解析]当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝a1＋a2＋a3＝，符合题意；当q≠1时，由题可得解得q＝－.故q＝1或q＝－.4．(2015·浙江湖州一模)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若8a2－a5＝0，则＝()A．－8B.5C．8D．15[答案]B[解析] 在等比数列{an}中，8a2－a5＝0，∴公比q＝2.∴＝＝5，故选B.5．(2015·上海黄浦模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是数列{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{}的前4项和为()A.或4B.或4C.D．[答案]C[解析]设数列{an}的公比为q.当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.S6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝，解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.所以数列{}的前4项和为1＋＋＋＝.6．(2015·广东珠海期末)已知公差不为零的等差数列{an}与公比为q的等比数列{bn}有相同的首项，同时满足a1，a4，b3成等比，b1，a3，b3成等差，则q2＝()A.B.C.D．[答案]C[解析]设数列的首项为a，等差数列{an}的公差为d，将a，d，q代入得化简得(a＋3d)2＝a(a＋4d)，解得a＝－d(d≠0)，代入①式得q2＝.二、填空题7．(2015·新课标全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.[答案]6[解析]因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，因为Sn＝126，所以＝126，解得2n＋1＝128，所以n＝6.8．等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为________.[答案]3[解析]由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，∴a4＝3a3，∴q＝＝3.9．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.[答案]11[解析]利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.10．(2015·河南十所名校第二次联考)设数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，则＝________.[答案]－[解析]设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，得解得故＝＝＝＝－.三、解答题11．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[答案](1)an＝2n－1(2)Tn＝[解析](1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝1－.12．(2015·安徽滁州高级中学联谊会第一学期期末联考)设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列{＋1}为等比数列；(2)求Tn＝S1＋S2＋…＋Sn.[答案](1)略(2)Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－[解析](1)证明an＋1＝Sn＋1－Sn，n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn＋n(n＋1)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn＋n(n＋1)，则＝2×＋1，∴＋1＝2(＋1)，故数列{＋1}为等比数列．(2)解由(1)知＋1＝(＋1)·2n－1＝2n，Sn＝n·2n－n，Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)，设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，∴－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，∴M＝(n－1)·2n＋1＋2，∴Tn＝(n－1)·2n...
