（新课标）高考数学一轮总复习 第七章 第7节 立体几何中的向量方法练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习第七章第7节立体几何中的向量方法练习一、选择题1．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)[解析]逐一验证法，对于选项A，MP＝(1,4,1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．[答案]A2．(2015·辽宁大连一模)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.[解析]建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.[答案]B3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则C1(，1,0)、A(0,0,2)，AC1＝(，1，－2)，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为＝＝.[答案]C4．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对[解析]以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴PM＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，AM＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.[答案]C5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D.[解析] M在EF上，设ME＝x，∴M， A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)，∴ED＝(，0，－1)，EB＝(0，，－1)，AM＝.设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，由得a＝b＝c.故可取一个法向量n＝(1,1，)． n·AM＝0，∴x＝1，∴M.[答案]C6．(2015·昆明模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角BACM的余弦值为()A.B.C.D.[解析] BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，∴AC＝(2,1,0)，AM＝，求得平面AMC的一个法向量为n＝(1，－2,1)，又平面ABC的一个法向量AP＝(0,0,2)，∴cos〈n，AP〉＝＝＝＝.∴二面角BACM的余弦值为.[答案]A二、填空题7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．[解析]以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝，∴EF和BC1所成的角为60°.[答案]60°8．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．[解析] 正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB＝A1B，CN＝CA，∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA＝(A1B1＋B1B＋BC＋(CD＋DA)＝B1B＋B1C1.又 CD是平面B1BCC1的法向量，∴MN·CD＝·CD＝0，∴MN⊥CD.又 MN⃘平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.[答案]平行9．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．[解析]如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则.令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.[答案]三、解答题10．(2014·山东高考)如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面A...